Реферат: Формули Рiвносильнiсть формул Тотожно iстиннi формули
Наведемо iндуктивне означення поняття формули логiки предикатiв (предикатної формули абопросто формули ) на предметнiй областi M .
1. Усi предикати P (x 1 ,x 2 ,...,xn ) на множинi M є формулами. Такi формули називають елементарними , або атомарними .
2. Якщо A i B - формули, то (ØA ), (ØB ), (A ÙB ), (A ÚB ), (A ®B ), (A ~B ) теж є формулами.
3. Якщо A - формула, а x - вiльна змiнна в A , то ("x (A )) i ($x (A )) теж формули.
4. Iнших формул, крiм утворених за правилами 1-3, немає.
Це означення дозволяє твердити, що усi формули алгебри висловлень є формулами логiки предикатiв, оскiльки висловлення - це нульмiснi предикати.
За допомогою наведеного означення неважко також переконатись, що вирази ("x ($y (A (x ,y ))®(B (x )Ú($z (C (x ,z ))))) i ("x ("y (A (x ,y )ÙB (x ))®($y (C (x ,y )))) є формулами логiки предикатiв, а вираз ("x (A (y )®($x (B (x ))))) не є формулою, оскiльки у виразi (A (y )®($x (B (x )))), який є правильною формулою, змiнна x є зв'язаною, тобто не є вiльною змiнною i квантор "x до неї застосувати не можна.
Для зручностi можна запровадити такi умови скорочення кiлькостi дужок у формулах. По-перше, залишимо всi умови скорочення числа дужок, якi було прийнято в алгебрi висловлень, виходячи з прiоритету логiчних операцiй. По-друге, опускатимемо всi зовнiшнi дужки. Вважатимемо, що квантори мають бiльший прiоритет, нiж логiчнi операцiї. Опускатимемо також дужки, що позначають область дiї квантора, якщо остання є елементарною формулою. Нарештi, не писатимемо дужки мiж кванторами, що слiдують один за одним. При цьому виконання таких кванторних операцiй вiдбувається в порядку, зворотньому до їх написання (справа налiво).
Нехай F (x 1 ,x 2 ,...,xn ) - деяка формула логiки предикатiв на множинi M . При логiчнiй (iстинностнiй) iнтерпретацiї формули F можливi такi три основнi ситуації.
1. Iснує набiр значень змiнних, для якого формула F перетворюється на iстинне висловлення. У цьому разi формула F називається виконуваною в областi M .
Якщо для F iснує область M , в якiй F є виконуваною, то формула F називається просто виконуваною .
2. Якщо формула F приймає значення 1 (тобто є виконуваною) для всiх наборiв значень з M , то вона називається тотожно iстинною в M . Формула, тотожно iстинна у будь-яких M , називається тотожно iстинною або логiчно загальнозначущою (скорочено - лзз ).
3. Якщо формула F є невиконуваною в M , то вона називається тотожно хибною в M . Формула, невиконувана в усiх M , називається тотожно хибною , або суперечнiстю .
Приклад 5 .7. Формула $xA (x ,y )®"xA (x ,y ) є виконуваною i вона ж є тотожно iстинною в усiх одноелементних областях M . Формула F (x 1 ,x 2 ,...,xn )ÚØF (x 1 ,x 2 ,...,xn ) тотожно iстинна, а формула F (x 1 ,x 2 ,...,xn )ÙØF (x 1 ,x 2 ,...,xn ) тотожно хибна. Тотожно iстинними будуть формули "xP (x )®P (y ) i P (y )®$xP (x ).
Формули F 1 i F 2 називаються рiвносильними (еквiвалентними ), якщо при всiх можливих пiдстановках значень замiсть їх змiнних вони набувають однакових значень; позначається F 1 = F 2 .
Наприклад, усi тотожно iстиннi (усi тотожно хибнi) формули рiвносильнi мiж собою. Очевидно також, що коли F 1 i F 2 рiвносильнi, то формула F 1 ~F 2 є тотожно iстинною, і навпаки.
Множина тотожно iстинних формул логiки предикатiв є складовою частиною усiх формальних математичних теорiй, тому її дослiдження i опис є важливою задачею математичної логiки. Значення цiєї множини пiдтверджує той факт, що їй, як було зазначено вище, належать усi рiвносильнi спiввiдношення (тотожностi) логiки предикатiв.
Як i в логiцi висловлень постають двi проблеми. Перша - опис або побудова множини всiх тотожно iстинних формул, друга - перевiрка тотожної iстинностi заданої формули логiки предикатiв.
Якщо iснує процедура розв’язання другої з цих проблем, то на її основi можна сформулювати такий тривiальний алгоритм, що породжує шукану множину T тотожно iстинних формул. Послiдовно будуємо всi формули, кожну з них за вiдомою процедурою перевiряємо на тотожну iстиннiсть i вносимо до множини T тi, для яких результат перевiрки є позитивним.
Однак на вiдмiну вiд логiки висловлень, де така процедура iснує i зводиться до обчислення значень даної формули на скiнченнiй множинi значень її параметрiв, у логiцi предикатiв областi визначення предметних i предикатних змiнних формул є, взагалi кажучи, нескiнченними (злiченними або навiть незлiченними).
Метод обчислення значення формули шляхом пiдстановки значень замiсть змiнних i послiдовного виконання вказаних дiй є зручним для встановлення виконуваності заданої формули або доведення нерiвносильностi певних формул. Для цього достатньо пiдiбрати одну вiдповiдну пiдстановку. Застосовувати цей метод можна також, коли предметна область M є скiнченною. Пов’язано це з тим, що для скiнченної множини M = {a 1 ,a 2 ,...,an } кванторнi формули можна перетворити у рiвносильнi їм звичайнi формули логiки висловлень:
"xP (x ) = P (a 1 )ÙP (a 2 )Ù ... ÙP (an ),
$xP (x ) = P (a 1 )ÚP (a 2 )Ú ... ÚP (an ).
Замiнивши усi квантори за допомогою наведених спiввiдношень, будь-яку формулу логiки предикатiв можна перетворити у рiвносильну пропозицiйну форму або формулу логiки висловлень. Iстиннiсть останньої на скiнченнiй множинi M перевiряється за скiнченну кiлькiсть пiдстановок i обчислень.
Для доведення ж рiвносильностi предикатних формул, що заданi на нескiнченних предметних областях, прямий перебiр виключається i доводиться використовувати рiзнi опосередкованi методи.
Наприклад, вище шляхом простих мiркувань було доведено рiвносильнiсть формул, що описує переставнiсть однойменних кванторiв у двомiсних предикатах, тобто доведено iстиннiсть формул
"x "yA (x ,y )~"y "xA (x ,y ) i $x $yA (x ,y )~$y $xA (x ,y ).
Аналогiчними мiркуваннями доведемо рiвносильнiсть, що описує дистрибутивнiсть квантора "x вiдносно кон’юнêцiї:
"x (A (x )ÙB (x )) = "xA (x )Ù"xB (x ).
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--