Реферат: Формулы сложения вероятностей
Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.
Рассмотрим некоторые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.
1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?
Вопрос можно поставить иначе: какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Очевидно, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а третий не попадёт и т. д. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Тогда противоположное событие 
заключается в том, что все трое не попали в мишень. Если первый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,2, а третий – с вероятностью 0,3, то по теореме умножения вероятностей Р()=0,1×0,2×0,3=0,006. Тогда Р(А)=1–Р()=0,994.
2. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р. а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать с второго включения. б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.
а) Для того, чтобы двигатель начал работать со второго включения, нужно, во-первых, чтобы он не запустился при первом включении (событие А). Это происходит с вероятностью 1–р. При втором включении двигатель запустится (событие В) с вероятностью р. Нас интересует вероятность события АÇВ. Из условия задачи можно понять, что события А и В независимы. Отсюда P(АÇВ)=р(1–р).
б) Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что двигатель запустится при первом включении или при втором включении. Противоположное событие заключается в том, что двигатель не запустится ни при первом, н при втором включении. Вероятность этого противоположного события равна (1–р)2 . Отсюда вероятность интересующего нас события равна 1–(1–р)2 .
3. В семье Ивановых 4 ребёнка. Известно, что один из детей – мальчик. Найти вероятность того, что все дети –мальчики. Принять вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола дети уже имеются в семье.
Пусть событие В состоит в том, что все дети в семье – мальчики, событие А состоит в том, что в семье есть хотя бы один мальчик (именно так мы должны понимать условие задачи). Нас интересует величина Р(В/А). Для того, чтобы воспользоваться формулой условной вероятности, надо, во-первых, вычислить P(АÇВ). В нашем случае событие А является следствием события В, поэтому P(АÇВ)=Р(В) (смотри объяснение к теме 2). По условию задачи Р(В)=(1/2)4 =1/16. Чтобы вычислить Р(А), заметим, что событие 
состоит в том, что все дети в семье –девочки. Очевидно, что Р()=(1/2)4 =1/16. Тогда Р(А)=1–Р()=15/16. Теперь можно воспользоваться формулой для определения условной вероятности Р(В/А) = P(АÇВ)/Р(А). В результате получается Р(В/А)=(1/16)/( 15/16)=1/15.
Если бы в условии этой задачи был поставлен вопрос “чему равна вероятность того, что все дети мальчики, при условии, что второй ребёнок – мальчик?”, то ответ был бы 1/8.
4. В урне 7 белых и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть чёрный шар. Найти вероятность того, что другие два шара белые.
Пусть событие А состоит в том, что в выборке есть два белых шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачи существует 
возможных исходов. Отсюда Р(АÇВ)=
. Чтобы вычислить вероятность Р(В), заметим, что 
состоит в том, что все извлечённые шары белые, и Р()=
. Искомая вероятность равна ()/(1–)=63/85.
5. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков при условии, что на всех костях выпали грани с чётным числом очков.
Пусть событие А состоит в том, что хотя бы на одной кости выпало 6 очков, а событие В–в том, что на всех костях выпало чётное число очков. Вычислим вероятность события АÇВ. Общее число исходов, очевидно равно 63 =216. Одним из благоприятных исходов является выпадение 6-ти очков на всех трёх костях. Имеется 6 исходов, состоящих в выпадении шестёрок на двух костях и выпадении чётного числа очков, но не шестёрки на третьей кости. Можно насчитать 12 исходов, когда на одной кости выпадает шестёрка, а на двух других–чётные числа очков, но не шестёрки. Таким образом, событию АÇВ благоприятствуют 19 исходов, откуда Р(АÇВ)=19/216. Очевидно, что Р(В)=(1/2)3 =1/8. Искомая вероятность равна (19/216)/(1/8)=19/27.
6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?
Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;
В – событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.
Очевидно, что Р(В) =20/25=4/5. Теперь необходимо определить вероятность Р(АÇВ). Из 25-ти вопросов всего можно составить 
различных билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А и событию В, должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего 
таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5
таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5 билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5 билетов). Отсюда получаем, что
Р(АÇВ) = 
Осталось только найти искомую вероятность р(А/В):
Р(А/В) = 
Задачи для самостоятельного решения.
1) Доказать формулу
Р(АÈВÈС)=Р(А)+ Р(В)+Р(С)–Р(АÇВ)–Р(АÇС)–Р(ВÇС)+Р(АÇВÇС)
2) Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.
3) Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по одному шару до появления чёрного шара. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если выборка производится а)с возвращением; б) без возвращения.
4) а) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали не менее двух стрелков.
5) По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем–0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух–с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?
6) В условиях задачи 4 найти вероятность того, что на всех костях выпала шестёрка, если известно, что а) по крайней мере, на двух костях выпало одинаковое число очков; б) на всех костях выпало одинаковое число очков.