Реферат: Фрактальна розмірність

Типові фрактали

Фрактали можуть бути введені з допомогою динаміки, але це з'ясувалося не відразу. Спочатку вони були введені Бенуа Мандельброт для подання математичних об'єктів, які не мають «природного» масштабу виміру, і виглядають у різних масштабах приблизно однаково. У природі є об'єкти, практично не змінюють свій образ за зміною масштабу. Так, структура берега біля острова або материка на картах різних масштабів завжди характеризується наявністю мисів та заток, а --- рельєфу --- піків і западин. Тому протяжність берега і рельєфу функціонально залежить від масштабу карти. Ця функція називається степеневим законом. На графіку залежності довжини від масштабу карти, побудованому в подвійному логарифмічному масштабі, точки приблизно розташовуються на прямій лінії (Power Law). У цих структур немає природного масштабу, вони є фракталами. Зрозуміло, існують набагато більш складні способи математичного визначення фрактальних моделей, зокрема є випадкове фрактали, мультифракталів та ін [8]. У більш широкому сенсі, практично всі природні межі, в тому числі і фазові переходи, зберігають свою структуру в значному, але кінцевому, діапазоні масштабів. Про такі об'єкти часто говорять, що вони «самоподібних». Однак самоподібність --- занадто загальний термін. Насправді всі реальні об'єкти, що складаються з частин, самоподібних. Фрактали, звичайно, мають самоподібністю, але це математичне самоподібність правильніше називати самоафінностью. Саме присутність прихованої математичної регулярності, необхідної для їх побудови, надає їм незвичайне витонченість. У неповторному розмаїтті химерних форм інтуїтивно вгадується прихований математичний порядок, який робить фрактальні зображення воістину прекрасними [9] Проте тут поки що більше загадок, ніж ясності. Особливо це стосується так званої фрактальної розмірності.

Фрактальна розмірність

Ми вже відзначили, що фрактали визначають ті об'єкти, які не змінюють зі зміною масштабу свою форму, на відміну від звичайних геометричних фігур, таких як трикутник, квадрат, коло та ін Коло, наприклад, при цьому, перетворюється на пряму лінію. У той же час, спеціально створені на початку ХХ століття для демонстрації математичних монстрів, фігури, такі як сніжинка Хельги фон Кох, губка Менгера, або безліч Кантора, а також багато інших, зберігають свою структуру в нескінченному діапазоні масштабів. Математичні фрактали мають дивними рисами: вони мають нескінченну довжину, неперервні, здатні заповнити площину, але ні в одній точці не мають похідної. Порівняння фракталів між собою тому являє собою досить актуальну проблему [10]. Спочатку, для цієї мети Мандельброт запропонував надприродне дробове число, введене Хаусдорфа і Безікович на початку ХХ століття для демонстрації математичних монстрів. У принципі фрактальна розмірність показує ступінь грубості фрактала в порівнянні з чистою, зрозумілою топологічної розмірністю, якою володіють традиційні геометричні фігури. Так, пряма лінія має розмірність 1, а значно більше звивиста лінія морського берега від 1.15 до 1.25. Таке уявлення,, нині перетворилася на ключове властивість аттрактора, управляє різноманітними кількісними особливостями його динаміки. Разом з тим накопичилися і питання. З'ясувалося, наприклад, що існують фрактали, фрактальна розмірність яких визначається цілим числом. Фрактальна розмірність безперервно змінюється, і, в принципі, може бути будь-який, проте поки не вдалося зробити цю характеристику унікальною і використовувати її для ідентифікації фракталів. Дуже багато, зовсім різні фрактали мають однакову розмірність.

Висновок

Сьогодні фрактали з'являються в науці двома різними способами. По-перше, вони можуть виникати як первинний предмет дослідження і як описову засіб при дослідженнях нерегулярних процесів і форм. І, по-друге, вони можуть бути математичними висновками з деякою, що лежить в їх основі, хаотичної динаміки. Тим не менш, багато чого ще залишається неясним. Певною мірою, ми поки не знаємо всього розмаїття фракталів. Ми поки їх відшукуємо у природі, хоча вже існує фрактальна музика, фрактальна живопис та ін Поки ще немає загальної теорії хаосу і фракталів, неясно, як далеко простягаються моделі подібного типу, немає також ясного і загального підходу до визначення фрактальної розмірності та ін У Зокрема, тому ми не можемо з упевненістю стверджувати, чи є даний об'єкт фракталом, чи ні. Це область сучасних досліджень і узагальнень. Тут багато ще питань до математики і математикам.

Список використання літератури:

Матеріали п'ятого Всеросійського постійно діючого наукового семінару "Самоорганізація стійких целостностей в природі і суспільстві".

Данилов Ю.А. «Фрактальность».

Тішин А.І., Егембердіев Т.М. «Фрактальность людини».

Жіков В.В. «Фрактали».