Реферат: Фрактальна розмірність

Підготувала:

Студентка 5 курсу групи 2 - М

Садо Юлія Андріївна

Слов'янськ, 2008

План:

Вступ.

Відкриття фрактальності.

Самоподоба.

Фрактальні властивості в природі.

Типові фрактали

Фрактальна розмірність.

Висновок.

Вступ

Світ, що оточує нас, постійно змінює свій вигляд. Аж ніяк не останній внесок у ці зміни вносить наука, породжуючи нові поняття, нові засоби опису та дослідження звичних або щойно відкритих об'єктів. Понятійний арсенал науки поповнюється часом з надзвичайною швидкістю - так, що вчора ще надійний її інструментарій виявляється застарілим. Інші нові поняття жорстко вибраковуються, і лише минулим сувору перевірку на «виживання» призначено залишити свій слід в науці. Ну а яким-то дано перейти в понятійний базис не тільки «своїй» області знань, але отримати статус міждисциплінарного.

Відкриття фрактальності

Слова «фрактал», «фрактальна розмірність», «фрактальність» з'явилися в науковій літературі порівняно недавно і не встигли ще увійти в більшість словників, довідників і енциклопедій. Придумав слово «фрактал» (від латинського «фрактус» - дробовий, нецілих) наш сучасник, математик Бенуа Мандельброт, зумів відкрити зовсім поруч з нами воістину дивовижний світ, по-новому (або, принаймні, трохи інакше) глянувши на багато, здавалося б, добре знайомі предмети і явища.

Мандельброт звернув увагу на те, що при всій своїй очевидності випадало від його попередників, хоча траплялося на кожному кроці і буквально «лежало на поверхні»: контури, поверхні і обсяги навколишніх предметів не так рівні, гладкі й досконалі, як прийнято думати. Насправді вони нерівні, шершаві, із'язвлени безліччю отворів самої вигадливої форми, пронизані тріщинами і порами, покриті мережею зморшок, подряпин і кракелюр.

В арсеналі сучасної математики Мандельброт знайшов зручну кількісну міру неідеальності об'єктів - звивистості контуру, зморшкуватості поверхні, тріщинуватості і пористості обсягу. Її запропонували два математика - Фелікс Гаусдорф (1868 - 1942) і Абрам Самойлович Безікович (1891-1970). Нині вона заслужено носить славні імена своїх творців (розмірність Хаусдорфа-Безиковича).

Стосовно до ідеальних об'єктів класичної евклідової геометрії розмірність Хаусдорфа-Безиковича давала ті ж чисельні значення, що і відома задовго до неї так звана топологічна розмірність. Але збігаючись зі старою, топологічної, розмірністю на ідеальних об'єктах, нова розмірність володіла більш тонкою чутливістю до всякого роду недосконалостей реальних об'єктів, дозволяючи розрізняти і індивідуалізувати те, що раніше було безлико і невиразно. Для того щоб особливо підкреслити здатність розмірності Хаусдорфа-Безиковича приймати дробові, нецілі, значення, Мандельброт і придумав свій неологізм, назвавши її фрактальної розмірністю. Отже, фрактальна розмірність (не тільки Хаусдорфа-Безиковича, але і будь-яка інша) - це розмірність, здатна приймати не обов'язково цілі значення, фрактал - об'єкт з фрактальної, розмірністю, а фрактальність - властивість об'єкта бути фракталом або розмірності бути фрактальної.

Самоподоба

математика фрактал сніжинка кох

Серед безлічі незвичайних об'єктів, побудованих математиками в кінці XIX - початку XX століття при перегляді основ математики, багато хто опинився фракталами, тобто об'єктами з дробової, або фрактальної, розмірністю Хаусдорфа - Безиковича. Всі вони дуже красиві і часто носять поетичні назви: канторівскої пил, крива Пеано, сніжинка фон Коха, килим Серпінського і т. д. І всі вони мають один дуже важливою властивістю, яке ріднить їх з звичайнісінької прямій. Це властивість називається самоподібністю: всі ці фігури подібні будь-якому своєму фрагменту.

Якщо ви точно так само не зможете відрізнити знімок якого-небудь об'єкта від належним чином збільшеного знімка будь-якого його фрагмента, то перед вами - самоподібних об'єкт. Всі фрактали, які мають хоча б який-небудь симетрією, самоподібних.

Самоподоба означає, що в об'єкта немає характерного масштабу: будь у нього такий масштаб, ви відразу б відрізнили збільшену копію фрагмента від вихідного знімка. Самоподібні об'єкти мають нескінченно багатьма масштабами. Зрозуміло, далеко не всі фрактали мають настільки правильною, нескінченно повторюється структурою. Багато фрактали, що зустрічаються в природі (поверхні розлому гірських порід і металів, хмари, турбулентні потоки, піна, гелі, контури частинок сажі і т. д.), позбавлені геометричної подоби, але вперто відтворюють у кожному фрагменті статистичні властивості цілого. Таке статистичне самоподібність, або самоподібність в середньому, виділяє фрактали серед безлічі природних об'єктів.

Навіть найпростіші з фракталів - геометрично самоподібні фрактали - володіють незвичними властивостями. Наприклад, сніжинка фон Коха має периметром нескінченної довжини, хоча обмежує кінцеву площу. Крім того, вона така колюча, що ні в одній точці контуру до неї не можна провести дотичну (математик сказав би, що сніжинка фон Коха ніде не диференційовна).

Фрактальні властивості в природі

Фрактальні властивості - не примха і не плід дозвільної фантазії математиків. Вивчаючи їх, ми вчимося розрізняти і передбачати важливі особливості навколишніх предметів і явищ, які раніше, якщо і не ігнорувалися повністю, то оцінювалися лише приблизно, якісно, ​​на око. Наприклад, порівнюючи фрактальні розмірності складних сигналів, енцефалограм чи шумів у серці, медики можуть діагностувати деякі тяжкі захворювання на ранній стадії, коли хворому ще можна допомогти.

Метеорологи навчилися визначати за фрактальної розмірності зображення на екрані радара швидкість висхідних потоків у хмарах, що дозволяє з великим випередженням видавати морякам і льотчикам штормові попередження.

Такого роду застосувань фракталів вже зараз існує велика кількість, і число їх усе збільшується. Про один несподіваному застосуванні і не менш несподіваному прикладі природного статистично самоподібного фрактала ми хочемо розповісти трохи докладніше, тим більше що це дає нам можливість звернути увагу на одну надзвичайно важливу обставину, яка зазвичай не беруть до уваги або замовчують, - роль спостерігача і роздільної здатності приладів при визначенні розмірності.

При розборі архіву видатного фахівця з гідродинаміки Луїса Фрая Річардсона серед його паперів були виявлені чернетки дивного дослідження. Кілька перефразовуючи слова Льюїса Керролла, можна сказати, що при переході від географії до дрібних камінцях він виявив необмежену збільшення протяжності берегової лінії. Контури доброї старої Англії вели, себе зовсім не так, як мало би бути евклідової кривої. Але якщо берегова лінія Великобританії не крива, то що це? Тепер відповідь відома: фрактал.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--