Реферат: Геометрические характеристики поперечных сечений

Основы конструирования приборов

Реферат по теме

Геометрические характеристики поперечных сечений

Студента группы ИУ 3-32

Кондратова Николая

Статические моменты сечения

Возьмем некоторое поперечное се­чение бруса (рис. 1). Свяжем его с системой координат х, у и рас­смотрим два следующих интеграла:

Рис. 1

(1)

где индекс F у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интегралов представ­ляет собой сумму произведений, элементарных площадокdF на рас­стояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси х, а второй — относительно оси у. Размерность статического момента см³ . При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей, x₁ ,y₁ и x₂ , y₂ .Пусть расстояние между осями x₁ и x₂ равно b, а между осями y₂ и y₂ равно а (рис. 2). Положим, что площадь сечения F и статические моменты относительно осей x₁ и y₁ , т. е. S_x1 , и S_y1 заданы. Требуется определить S_x2 и S_y2 .

Очевидно, х₂ = x₁ — а, y₂ = y₁ —b. Искомые статические мо­менты будут равны

???

Таким образом, при параллельном переносеосей статический момент меняется на величину, равную произведению площади F на расстояние между осями.

Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выра­жений:

Величина b может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы произведениеbF было равно S_x1 . Тогда статический момент S_x2 , относительно оси x₂ обращается в нуль.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, про­извольно взятой, оси х₁ равно

Рис. 2

Аналогично для другого семейства параллельных осей

Точка пересечения центральных осей называется центром тяже­сти сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равно­действующих сил веса. Если уподобить рассмотренное сечение одно­родной пластинке, то сила веса пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил весаотносительно некоторой оси — пропорционален статическому мо­менту. Этот момент сил веса относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси.

Моменты инерции сечения

В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три сле­дующих интеграла:

(2)

Через х и у обозначены текущие координаты эле­ментарной площадкиdF в произвольно взятой системе координат х, y . Первые два интеграла называются осевыми момен­тами инерции сечения относительно осей х и y соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у. Размерность моментов инерции см⁴ .

Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку поло­жительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависи­мости от расположения сечения относительно осей х, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при парал­лельном переносе осей. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х₁ и y₁ . Требуется определить моменты инерции относительно осей x₂ и y₂

(3)

Подставляя сюда х ₂ = x₁ — а и y₂ =y₁ — b и раскрывая скобки (согласно (1) и (2)) находим

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--