Реферат: Гомоморфная обработка речи

Аналогично обратная характеристическая система удовлетворяет соотношению

(6)

Математическое описание характеристической системы определяется требованиями к выходному сигналу. Если на входе имеется сигнал свертки, то

(7)

и z-преобразование входного сигнала имеет вид

. (8)

Из (5) очевидно, что z-преобразование сигнала на выходе системы должно представлять собой сумму z-преобразований компонент. Таким образом, в частотной области характеристическая система для свертки должна обладать следующим свойством: если на входе имеется произведение компонент, то на выходе должна возникнуть их сумма. Один из подходов к синтезу такой системы представлен на рис. 3.

Рис. 3. Представление системы, гомоморфной относительно свертки в частотной области

Этот подход основан на том, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.

(9)

Если необходимо представлять сигналы во временной, а не в частотной области, то характеристическая система примет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Представление характеристической системы, гомоморфной относительно свертки

Аналогичное обратное преобразование показано на рис. 5 .

Рис.5. Представление характеристической системы, обратной гомоморфной системе

Представление прямой и обратной характеристических систем зависит от справедливости соотношения (9). Таким образом, логарифм должен быть определен так, чтобы логарифм произвеления равнялся сумме логарифмов сомножителей. Это тривиально для действительных положительных величин. Однако в общем случае z-преобразование имеет комплексный характер и вопрос единственности логарифма комплексной случайной величины чрезвычайно важен. С точки зрения вычислений целесообразно рассмотреть случай, когда (9) справедливо на единичной окружности, т. е. для .

Для решаемых задач цифровой обработки вполне подходит определение логарифма в виде

(10)

В этом соотношении действительная часть не вызывает трудностей. Проблема единственности возникает при определении мнимой части (т.е. ), которая представляет собой фазовый угол z-преобразования, вычисленного на единичной окружности. Одним из подходов к решению проблемы единственности является предположение, что фазовый угол представляет собой непрерывную нечетную функцию. В этих условиях уравнение (9) справедливо.

С учетом возможности вычисления комплексного логарифма, удовлетворяющего (9), обратное преобразование комплексного логарифма преобразования Фурье входного сигнала, являющееся выходом характеристической системы для свертки, имеет вид

(11)

Выход характеристической системы назван «комплексным кепстром» (термин «кепстр» является в настоящее время общепринятым для обозначения обратного преобразования Фурье логарифма спектра мощности сигнала; термин «комплексный кепстр» означает, что применяется комплексный логарифм).

Термин «кепстр» используется для величины

(12)

Последовательность с(п) представляет собой четную часть комплексного кепстра : .

Таким образом, определена характеристическая система для гомоморфной свертки и каноническая форма всех гомоморфных систем относительно свертки. Все системы этого класса отличаются только линейной частью. Выбор линейной системы определяется свойствами входного сигнала. Следовательно, для правильного построения линейной системы необходимо прежде всего определить вид и структуру сигнала на выходе характеристической системы, т.е. рассмотреть свойства комплексного кепстра для типичных входных сигналов.

2. Комплексный кепстр речи