Реферат: Границя функції

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовнос­тям.

Послідовність у_п = f (п), п — 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо у_п = 0.

Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.

Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо не­рівність | у_п | < , п > N. Тому нескінченно малу число­ву послідовність можна означити ще й так.

Числова послідовність (у_п ) називається нескінченно ма­лою, якщо для будь-якого додатного числа існує натуральне число N таке, що для всіх п > N виконується нерівність | у_п | < .

Нескінченно малі послідовності позначають через (а_п ), (β _п ), (_n ) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між послідовністю (у_п ), яка має границю, і нескінченно малою послідовністю.

Теорема 1. Якщо у_п = a , то послідовність (а _n ) = ( y_n – a ) є нескінченно малою.

Доведення. Яке б не було число > 0, знайдеться таке N , що для всіх п > N виконуватиметься нерівність | у_п — а | < , або , тобто — нескін­ченно мала послідовність.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо різниця між у_п і числом а є нескінченно малою послідовністю, то а є границею послідовності (у_п ).

Доведення. Позначимо а_п = у_п — а. Тоді у_п — а є нескінченно малою послідовністю. Тобто для будь-якогочисла > 0 знайдеться таке N , що для всіх п > N виконується нерівність | а_п |< , або, що те саме, |у_п — а |< . Отже, згідно з означенням границі, y_n = а . Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означенняграниці послідовності.

Число а називається границею числової послідовності (у_п ), якщо різниця між у_п і числом а є нескінченно малою по­слідовністю, тобто (у_п — а) = (_п ), де () — нескінчен­но мала послідовність.

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числанескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Перш ніж сформулювати наступну властивість, наве­демо таке означення.

Послідовність (у_п ) називається обмеженою, якщо існує число М > 0, що для всіх значень п = 1,2, ... виконуєть­ся нерівність

| у_п |< М.

Властивість 2. Добуток нескінченно малої чис­лової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

3. Нескінченно великі числові послідовності

Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.

Означення. Послідовність (у_п ) називається нес­кінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | у_п | > М. Це записують так:

у_п при цьому називають нескінченно великою послі­довністю. Наприклад, послідовності ((—1)^п п ), (п ² ), (п ) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((—1)^п п ) є нескінченно ве­лика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |у_п |= (— 1)^п п = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зро­стають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М₁ = 100, то |у |=п >100, якщо п = 101, 102, ... .

Отже, .

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послі­довність (у_п ), де

є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.

Теорема. Якщо (у_п ) є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність () = є нескінчен но малою.

Доведення. Оскільки (у_п ) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М > 0, існує таке число N , що для всіх п > N виконується нерівність | у_п |> M . Нехай М = , де — довільне додатне число.