Реферат: Границя функції

Обернена теорема. Якщо послідовність () є нескін­ченно мала числова послідовність і для всіх n = 1, 2, ..., то послідовність (у_п ) = = є нескінченно велика .

Доведення. Оскільки за умовою теореми ( ) — не­скінченно мала послідовність, то для будь-якого числа > 0, наприклад, для =,де М>0 — будь-яке дійсне число, існує натуральне число N = N (М) таке, що длявсіх значень п > N виконується нерівність | | < .

Позначимо у_п = . Тоді

Теорема доведена.

4. Основні теореми про границі

Знаходження границі числової послідовності на основі "тільки означення границі викликає часто певні труднощі, оскільки: треба наперед знати «підозріле» на границю число; не кожного разу за заданим можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.

Теорема 1 . Нехай послідовності (х_п ) і (у_п ) мають від­повідно границі а і b . Тоді послідовність ( x_n + y_n ) має границю а + b .

Теорема 2. Нехай послідовності (х_п ) і (у_п ) мають від­повідно границі а , b . Тоді послідовність (х_п • у_п ) має границю, яка дорівнює а • b , тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (х_п ) і (у_п ) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна об­межена послідовність має границю .

Теорема 5. Якщо послідовність (х_п ) має границю а, то ця границя єдина.

Приклад 1. Знайти (За означенням п! = , читають «ен факто­ріал».)

Розв'язання. Використаємо теорему про гра­ницю суми. Для цього з'ясуємо, чи існують границі доданків.. Послідовності , є нескінченно малими , тобто Послідовність (sinn ² ) є обмеженою: | sinn ² | 1. Отже,

Границі доданків існують. Тому

5. Границя функції неперервного аргументу

Розглянемо функцію у = f (х), де аргумент змінюється неперервно (набуває всіх значень з певного проміжку , крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного про­міжку).

Наведемо два приклади.

Приклад 1. Простежимо, як поводить себефункція f (х) = + 2, коли значення аргументу х як завгодно близько наближається до числа 2. Символічно це позначають так: х - 2 . З малюнка 105 випливає, що коли х - 2 зліва або справа, то відповідні значення функції f (х) як завгодно близько наближаються до числа 4, тобто ці значення мало відрізнятимуться від числа 4.

У такому разі кажуть, що функція f (х) = + 2 має границею число 4, якщо х - 2, або в точці х₀ = 2, Символічно це записують так: .

Число А називається границею функції у = f (х) у точ ці х₀ , якщо для будь-якого числа > 0 існує таке числе > 0, що для всіх і таких, що , якщо виконується нерівність

Символічно це записують так:

Приклад. Довести, що

Розв'язання. Під знаком граниш є лінійна функція y = kx + b ( k =2, b =1). Зпопереднього при­кладу випливає, що лінійна функція у = kx + b у будь-якій точці х - a має границю А. Границя дорівнює значенню цієї функції у точці х = а, тобто А = ka + b . Отже, у даному прикладі А = 2 • 1 + 1 = 0. Задача розв'язана.