Реферат: Інтегровані типи д-р 1-го порядку розвязаних відносно похідної

Аналогічно записуємо

(2.47) –

загальний розвязок ДР (2.45) і

(2.48) –

розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай , то

отже - розвязок ДР (2.45).

Аналогічно .

Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).

З розвязку ми повинні викинути точку , так як в точці ДР (2.45) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку викидають точку .

Таким чином розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.

Пр. 2.6.

Знайти загальний розвязок ДР:

.

Розвязок:

. .

.

.

.

.

в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.

Розглянемо р-ня в диференціалах

(2.5),

в якому ф-ії і являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.

Означення 2.4: ф-я називаеться однорідною степеню ,

якщо (2.49).

Якщо (2.49) виконуються при , то ф-я називаеться додатню-однорідною.

Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду

(2.50),

в якому функція однорідна функція нулбового виміру.

Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно

,

,

,

,

,

,

(2.52), де .

При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53).

Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.

Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки:

Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56).

Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58).

Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59)

Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60).

Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР