Реферат: Інтегрування раціональних функцій

Приклад 2 . Виділити цілу частину дробу

Отже,

.

Інтегрування правильного раціонального дробу

Якщо дріб неправильний, то розклавши його на суму цілої частину і правильного раціонального дробу, будемо інтеграл розглядати як суму інтегралів. Інтегрування цілої частини (полінома степеня ) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування правильних раціональних дробів.

Саме визначення простих дробів вказує на те, що перш ніж розкладати правильний дріб на прості, треба знаменник правильного дробу розкласти на прості множники. Під простими множниками розумітимемо множники вигляду і

Нехай знаменник правильного дробу має вигляд

,

де всі - дійсні числа. Тут коефіцієнт при вважаємо таким, що дорівнює одиниці, яка не зменшує загальності міркувань, бо у випадку наявності при коефіцієнта завжди можна чисельник і знаменник дробу поділити на Згідно з основною теоремою алгебри поліном – го степеня має рівно коренів на множині комплексних чисел.

З алгебри відомо також, що коли поліном з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь вигляду , то він має і спряжений йому корінь , тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими парами.

Згідно з теоремою Вієта поліном розкладається на множники вигляду , де - корені полінома, тобто

Нехай і - комплексно спряжені корені. Тоді їм відповідатиме в розкладі два множники і . Їх добуток

Отже, кожній спряженій парі комплексних коренів відповідає множник вигляду . Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це, то розклад полінома на множники запишеться так:

(8.21)

де - кратності дійсних коренів, - кратності пар комплексно спряжених коренів.

Нехай правильний дріб має вигляд , де і – степені поліномів і і розкладається на множники так, як це показано в (8.21). У курсі алгебри доводиться, що кожному простому дійсному кореню відповідає простий дріб , а - кратному відповідає сума простих дробів:

Кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає простий дріб вигляду , де кожній - кратній парі комплексно спряжених коренів відповідає сума простих дробів:

Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби правильного раціонального дробу

в якому знаменник уже розкладений на множники. Коренями знаменника є однократний корінь 1, двократний корінь 2, двократна пара комплексно спряжених коренів (корені рівняння ), однократна пара комплексно спряжених коренів (корені рівняння ).

Отже , заданий дріб може бути поданий як