Реферат: Інтегрування виразів що містять тригонометричні функції Приклади первісних що не є елементарн

Оскільки в разі заміни на і на підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка зведе інтеграл до вигляду

Приклад 2. .

Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку , яка зведе інтеграл до вигляду

.

Якщо , то

.

Якщо , то

При .

При .

Приклад 3 . .

Підстановка . З її допомогою інтеграл перетвориться в

.

в) Усі інтеграли вигляду

де - раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4.

г) Інтеграли вигляду

( - ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановок

В результаті матимемо

Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.

д) Інтеграли вигляду де - цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:

(8.27)

Тоді

Піднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів які легко обчислюються.

Якщо хоча б один з показників від’ємний, то необхідно робити підстановку (або ).

Інтеграли вигляду можна

проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:

(8.28)

Звідси

Далі обчислимо: