Реферат: Интерполирование и приближение функций

Надо отметить, что дополнительную точку в таблицу необходимо записывать в самую нижнюю строку таблицы, чтобы не нарушить уже имеющегося упорядочения разностей и ускорить вычисление новых.

И, наконец, надо отметить, что и многочлен Лагранжа, и многочлен Ньютона удобны для вычислений, но после раскрытия скобок и приведения подобных дают один и тот же степенной многочлен.

4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Основным недостатком интерполяционных многочленов является наличие у них большого числа экстремумов и точек перегибов, что определяется суммированием в них многочленов , n раз меняющих свой знак. Кроме того, исходные табличные значения функции заданы неточно по разным причинам, поэтому строить многочлены выше 4-5-й степени, зная, что из теоретических исследований функция в интервале таблицы совсем не такая, не имеет особого смысла.

Если табличные значения функции можно интерпретировать как теоретическое значение плюс погрешность, то, задав некоторый критерий близости теоретической кривой к заданному множеству табличных точек, можно найти нужное число параметров этой кривой.

Наиболее популярным критерием близости является минимум среднего квадрата отклонения:

,

где – точка экспериментальных данных из таблицы,

– значение искомой зависимости в точке .

Если искомую зависимость желательно представить многочленом степени n, то (n+1) коэффициент в нем будут представлять неизвестные параметры. Подставив в сумму квадратов отклонений искомый многочлен, получим функционал, зависящий от этих параметров:

Чтобы функционал был минимален, необходимо все частные производные функционала по параметрам приравнять нулю и систему разрешить относительно неизвестных параметров . Эти действия приводят к следующей системе линейных уравнений

Здесь – постоянный коэффициент, равный сумме (j+k)-тых степеней всех значений аргументов. Для их ручного вычисления удобно к исходной таблице данных добавить еще столбцов. – числовые значения в правой части системы линейных алгебраических уравнений, для подсчета которых тоже

удобно к исходной таблице данных добавить еще n столбцов.

Демонстрацию метода наименьших квадратов проведем для данных с количеством точек в таблице, равным 4. Максимальная степень аппроксимирующего многочлена для такого набора равна 3, так как должно выполняться соотношение: . Для максимальной степени аппроксимирующий и интерполяционный многочлены равны.

Пусть таблица данных после добавления в нее дополнительных колонок выглядит следующим образом:

В нижней строке размещаем итоговые суммы по каждой колонке.

Система уравнений для полинома третьей степени:

Решив систему, найдем:

Эта же таблица без добавления чего-либо позволяет найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена второй степени. Для этого достаточно в системе для полинома третьей степени убрать 4-е уравнение, а из остальных уравнений исключить слагаемые с неизвестной . В результате система уравнений для полинома второй степени будет:

Решив систему, найдем:

Аналогично можно уменьшать число уравнений для построения аппроксимирующих многочленов первой и нулевой степеней.

На рисунке 1 показаны графики двух аппроксимирующих многочленов второй и третьей степени. Многочлен третьей степени проходит через 4 заданные точки, а многочлен второй степени проходит сквозь множество заданных точек с минимумом суммы квадратов отклонений от них, что хорошо видно на графиках.