Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических и общелогических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям". И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических задач.

Глава II. Методика использования логических задач на уроках математики в начальной школе

2.1 Интегрированное обучение и развитие мышления в простой игре

Общее соображение о важности широкого внедрения в школьный урок математики нестандартных логических задач дополним описанием соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику использования на уроках математики в начальной школе специального типа логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных понятий математической логики. Эта методика была разработана ведущим отечественным методистом А.А. Столяром.

"Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого класса, - учить рассуждать, учить мыслить", - писал А.А. Столяр ([9], c. 11). Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ логического мышления и в изучении геометрических фигур А.А. Столяр использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение которой произведено ниже.

Игра с кругами, созданная на основе известных кругов Эйлера, позволяет обучать классифицирующей деятельности, закладывает понимание логических операций: отрицания - не, конъюнкции - и, дизъюнкции - или. Перечисленные логические операции имеют важнейшее значение, так как различные их комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические структуры. Из функциональных элементов, реализующих логические операции не, и, или, конструируются схемы современных ЭВМ.

К концу дошкольного возраста у ребенка проявляются признаки логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в этот период научить ребенка логически мыслить и обосновывать свои суждения.

Для игры с кругами нужны нарисованные на бумаге один, два или три пересекающихся круга разного цвета, разноцветные обручи и наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и буквами русского алфавита. В принципе необязательно использовать круги, можно работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными веревочками. Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой. Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее эффективным.

Приведем несколько примеров заданий для игры "Круги". Предлагаемая методика игрового обучения взята из работы ([9]). Она может использоваться начиная с первого класса.

1. Задачи с одним кругом

Цель работы над задачами с одним кругом - учить классифицировать предметы по одному признаку, понимать и применять логическую операцию отрицания не.

Игра проводится со всем классом или группой. У учеников в руках наборы квадратов, кругов и треугольников разных цветов и размеров. В центре игровой площадки помещен обруч или на доске нарисован круг.

Учитель:

- Покажите треугольные фигуры.

- Покажите красные фигуры.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне круга.

Ученики выборочно выполняют эти простые задания. Надо быть готовым к тому, что здесь необязательно сразу будут правильные результаты. Понятия "внутри" и "вне" у многих детей в этом возрасте еще не полностью сформированы.

Учитель:

- Положите внутрь круга треугольные фигуры.

Ученики случайным образом (например, с закрытыми глазами) выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их на заданное место. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка обсуждается со всей группой.

После того как все фигуры размещены, учитель задает два новых вопроса.

Учитель:

- Какие геометрические фигуры лежат внутри круга?

Ученик:

- Внутри круга лежат треугольные фигуры.

Этот ответ содержится в самом условии только что решенной задачи и формулируется обычно без особого труда. Правильного ответа на второй вопрос приходится ждать дольше.

Учитель: