Реферат: Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ
Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X=<X,&,a (+),a {},{}a > событий - алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x1 ,x2 ,...,xn } и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 - неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s1 &s2 событий s1 , s2 состоит из всех слов вида pq, pÎ s1 , qÎ s2 ; a - дизъюнкция a (s1 +s2 ) совпадает с s1 (s2 ), если условие a истинно (ложно); итерация с постусловием {s}a состоит из пустого события s0 =e и всевозможных слов вида p1 p2 ...pk т.е. 
, {s}a =sm , где sm - последний из степеней s, для которого условие a выполнено; итерация с предусловием a {s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом Æ. Элементарные события в А - события е, x1 , x2 ,..., xn . Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании - см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.
Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.
Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.
Шаг 1. Задается произвольное событие s=s0 s1 s2 ...sn+1 , где si - событие номер i, начальное событие - s0 , конечное - sn+1 , остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.
Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения : 
, где Fi - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.
Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием sn+1 , 
.
Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eÎaij ) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.
Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=A&B, ab=a&b,a(A) - условие выполнимости события А, Aa - проверка условия a после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, 
- отрицание условия a):
Ae=eA=A,
ea=a(e)=a,
AÆ=ÆA=Æ,
2 (A+B)=Æ,
a(b(A))=b,
A(BC)=(AB)C,
b (A+B)=(a(A)+ (B)),
a(b (A+B))=(ba(A))+( 
(B)),
a (A+B)C=a (AC+BC),
Aa (B+C)=a (AB+AC),
a(AB)=a(A)Ba(B),
(AB)a=A(Ba),
A{B}a ={BA a }A,
a({A}b )={Ab }b,
{A}a =a (e+A{A}a ),
{a(A)}(B)={A} B,
a {A}a {A}=a {A},
{a a {A}}=a {A},
{A}a {A}a ={A}a ,
{{A}aa }={A}a ,
{a(A)}={A} ,
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--