Реферат: История математики. Александрийская школа

2.7.1.2. «Начала» Евклида.

Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг:

I – VI посвящены планиметрии;

VII – IX – арифметике;

Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Но не все из того, что уже было известно, изложено в «Началах», например, теория конических сечений в «Началах» не была представлена.

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

. . .

23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется,

1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

V постулат:

5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

. . .

6. И половины равных равны между собой.