Реферат: Изгиб прямолинейного стержня

Изгиб вызывается (рис. 1, а) внешними силами, направленными перпендикулярно продольной оси стержня, а также парами внешних сил, плоскость действия которых проходит через эту ось. При действии такой нагрузки продольная ось стержня искривляется. В поперечных сечениях стержня при изгибе возникают моменты внутренних сил, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости сечения, т.е. изгибающие моменты М_и .

Если изгибающий момент в поперечном сечении является единственной составляющей внутренних сил, изгиб называется чистым.

Изгиб называют поперечным, если в поперечных сечениях вместе с изгибающим моментом М_и возникают и поперечные силы Q . Поперечный изгиб встречается в реальных условиях нагружения чаще чистого изгиба.

Если плоскость действия изгибающего момента М_и проходит через центр масс поперечного сечения, т.е. через любую центральную ось сечения, изгиб называют простым или плоским , в противном случае изгиб называют косым . При плоском изгибе продольная ось стержня и после деформации остается в плоскости внешних сил, т.е. представляет плоскую кривую линию. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с плоскостью внешних сил. Косой изгиб относится к виду деформаций, называемых сложной деформацией. Определение опорных реакций изгибаемых стержней

Внутренние силы в поперечных сечениях изгибаемых стержней определяют с помощью метода сечений. Использование уравнений равновесия и возможно для систем сил, действующих на свободные тела . Стержни, подвергаемые деформации изгиба, в реальных условиях обязательно имеют те или иные опоры, при отсутствии которых изгиб стержня был бы невозможен. Наличие опор (связей) ограничивает движение изгибаемого стержня и делает невозможным использование уравнений равновесия для определения внутренних сил.

Формально несвободные изгибаемые стержни можно считать свободными используя принцип освобождаемости от связей. Согласно ему, любое несвободное тело можно представить свободным, отбросив ограничивающие его движение связи (опоры) и заменив их действие силами реакции этих связей . Уравнения равновесия и можно использовать для определения внутренних сил в поперечных сечениях изгибаемых стержней при условии, что помимо внешних сил будут учитываться и силы реакций опор. Поэтому прежде чем определить внутренние силы в поперечных сечениях изгибаемых стержней, нужно уметь находить величину и направление реакций опор. Известно, что реакция связи (опоры) направлена всегда в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Если связь препятствует поступательному движению тела, ее реакция – сила; если связь препятствует вращательному движению, ее реакция – момент сил.

Рис. 2

г

в

б

а

в

б

в

б

а

а

Рис. 3

???. 1

Различают три основных типа опор стержней при изгибе.

Подвижная шарнирная опора (рис. 2, а) не препятствует вращению стержня и его перемещению вдоль опорной поверхности. Реакция опоры проходит через центр шарнира и направлена перпендикулярно опорной плоскости.

Неподвижная шарнирная опора (рис. 2, б) допускает вращение стержня и препятствует его поступательному перемещению в любом направлении. Реакция проходит через центр шарнира и может иметь разное направление в зависимости от действия системы внешних сил. Разложим ее на составляющие в плоскости внешних сил, направленные вдоль и перпендикулярно продольной оси стержня.

Жесткая заделка или защемление (рис. 2, в) не допускает ни линейных, ни угловых перемещений изгибаемого стержня. Полная реакция опоры состоит из силы, которую раскладываем на две составляющие, направленные вдоль и перпендикулярно продольной оси стержня и момента сил (реактивного момента), составляющие реакции опоры приложены в точке защемления стержня. Стержень, защемленный одним концом и не имеющий других опор, называют консолью . Консолью называют и выступающие за шарнирные опоры части стержня.

Далее, «заменив» опоры силами их реакций, составляют уравнения равновесия для системы сил, действующей на изгибаемый стержень. Независимых уравнений равновесия для плоской системы сил три. Задача статически определима, если число неизвестных составляющих реакций опор не более трех.

Это возможно при следующих вариантах крепления изгибаемых стержней: защемление стержня одним концом (контактные пружины) или крепление стержня с помощью подвижной и неподвижной шарнирных опор (валы). При большем количестве неизвестных составляющих реакций применяют иные, не рассматриваемые в пособии, способы решения.

Если при вычислении величину реакции опоры получили отрицательной , со знаком минус , то действительное направление реакции будет противоположно принятому , что обязательно нужно учитывать при определении внутренних сил.

Пример .

Определим реакции в опорах А и В изгибаемого стержня, схема нагружения (F, M_e ) и размеры (a, b, ℓ) которого представлены на рис. 1, а. Заменим подвижную опору В реакцией R_B , а неподвижную шарнирную опору А – составляющими R_AX и R_AY . «Свободный» стержень под действием внешних сил и сил реакций опор находится в покое. Отсутствие возможных составляющих плоского движения (поступательные перемещения вдоль осей x и y и вращательное движение в плоскости действия сил, т.е. вокруг оси z ) стержня выразим с помощью уравнений равновесия:

. (1)

Для действующей системы сил первое из уравнений (1) примет вид R_AX = 0; второе: R_B – F – R_AY = 0 и третье: R_B ℓ – F·a – M_e = 0. Из последнего уравнения определим, что R_B = (F·a + M_e )/ℓ. Далее, подставим величину R_B во второе уравнение, определим, что R_AY = F – R_B = F – (F·a + M_e )/ℓ.

Определение внутренних усилий при изгибе. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают следующие составляющие внутренних сил – поперечная сила Q и изгибающий момент М_и . Для их определения используют метод сечений.

Поперечная сила направлена вдоль плоскости сечения и ее действие связано с действием касательных напряжений, т.е. τ = f (Q). Поперечная сила в любом поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил и реакций опор, действующих по одну сторону от сечения . В сечении ее считают положительной (рис. 3, а), если равнодействующая сил, действующих слева от сечения, направлена вверх, или равнодействующая сил, действующих справа от сечения – вниз; и отрицательной (рис. 3, б) – при противоположном направлении равнодействующих.

Изгибающий момент действует в плоскости, перпендикулярной поперечному сечению. Его действие связывают с действием нормальных напряжений, т.е. σ = f (М_и ). Изгибающий момент в любом поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра масс сечения внешних сил и реакций опор, действующих по одну сторону от сечения . Изгибающий момент считается положительным, если стержень в сечении (рис. 3, в) изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным (рис. 3, г), если стержень в сечении изгибается выпуклостью вверх. Знак изгибающего момента в сечении можно определить, закрепив условно сечение и рассматривая действие сил, расположенных по любую сторону от него. Например, см. рис. 1, а : силы, действующие слева от сечения 1-1 и справа от сечения 2-2 изгибают стержень в этих сечениях выпуклостью вниз, т.е. М_{и 1-1} > 0 и М_{и 2-2} > 0.

При определении Q и М_и используется скользящая система координат, когда отсчет сечений ведут либо от крайнего левого, либо от крайнего правого сечения стержня.

Для консольных жестко закрепленных с одной стороны (рис. 5.24, а) стержней поперечную силу и изгибающий момент удобнее определить без нахождения реакций опоры, рассматривая по отношению к сечению силы, действующие на незакрепленный участок стержня. Значения Q и М_и в точке закрепления В будут равны составляющим реакции опоры, т.е. Q_B = F = R_BY , М_{и B} = F·ℓ= M_RB .

Поперечная сила Q и изгибающий момент М_и в общем случае зависят от положения сечения по длине стержня, т.е. от величины х . Проверку условий прочности проводят в опасных наиболее нагруженных сечениях, в сечениях с наибольшими внутренними силами и максимальными напряжениями. Для нахождения опасных сечений и для наглядного представления о характере изменения внутренних сил строят графики распределения поперечных сил Q = Q (x) и изгибающего момента М_и = М_и (х) по длине стержня, т.е. эпюры поперечных сил и изгибающего момента .

Стержень разбивают на участки, на протяжении которых нагрузка однородна. Для эпюр Q и М_и проводят линии, параллельные продольной оси стержня. Границы участков сносят на эти линии. Для каждого участка составляют общие выражения величины поперечной силы Q = Q (x) и изгибающего момента М_и = М_и (х), для чего рассматривают произвольные сечения в пределах участка. Далее строят эпюры Q и М_и , задавая аргументу х значения в пределах каждого участка. Величины поперечной силы и изгибающего момента откладывают как ординаты эпюры в масштабе: Рассмотрим изменение τ для стержня прямоугольного сечения (рис. 5.23, б). Статический момент заштрихованной площадки относительно нейтральной оси z равен

, где – расстояние от оси z до центра масс отсеченной части сечения. Это уравнение параболы. Касательные напряжения определим по формуле учитывая, что I_z = bh³ /12;

.

Эпюру касательных напряжений (рис. 5.23, в) строим по трем точкам: τ_{y = h /2} = τ_{y = – h /2} = 0; τ_{y = 0} = 1,5 (Q/A).

Наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении действуют на уровне нейтральной оси. Для стержней прямоугольного сечения они в 1,5 раза больше того напряжения, которое получилось бы при равномерном распределении касательных напряжений по сечению.

Касательные напряжения при изгибе максимальны на нейтральной оси и при других формах поперечного сечения. Для стержней круглого поперечного сечения они равны τ_max = (4/3)(Q/A), для стержней кольцевого сечения – τ_max = 2(Q/A).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--