Реферат: Колебания и волны. Оптика. Квантовая и ядерная физика

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (8) будем записывать в виде

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Рисунок 2.

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (1), где s=x:

(1.1)

Согласно выражениям (4) в (5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

(1.2)

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (1.1) и (1.2) равна

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармони­ческие колебания, равна

(1.3)

или

(1.4)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колеба­ния под действием упругой силы F, равна

(1.5)

или

(1.6)

Сложив (1.3) и (1.5), получим формулу для полной энергии:

(1.7)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справе­длив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (1.4) и (1.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2w₀ , т.е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 3 представлены графики зависимости x, T и П от времени. Так как ásin² añ = ácos² añ = 1/2, то из формул (1.3), (1.5) и (l.7) следует, что áTñ = áПñ = ½ E.

Рисунок 3

Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида (6);

(2.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения, и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классичес­кой и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружин­ный, физический и математический маятники, колебательный контур. Рассмотрим два из этих примера.

Пружинный маятник — это груз массой , подвешенный на абсолютно- упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины (рис. 4). Уравнение движения маятника

или

Из выражений (2.1) и (1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону с циклической частотой

(2.2)

и периодом

(2.3)

Формула (2.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (1.5) и (2.2), равна

Рисунок 4.

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот­ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент M возвращающей силы можно записать в виде

(2.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_t = –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (2.4) можно записать в виде

или

Принимая

(2.5)

получим уравнение

идентичное с (2.1), решение которого (1) известно:

(2.6)

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀ (см. (2.5)) и периодом

, (2.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 5). Применяя теорему Штейнера, получим

,

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физичес­кого маятника не изменится.

Рисунок 5.