Реферат: Конвективная неустойчивость несжигаемой жидкости и ячейки Бернара

m² = k² - Â^{1/ 3} k^{2/ 3} 1^1/3

с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и определяют зависимости k = k_n (Â), n = 1, 2, … Обратные функции Â = Â _n ( k ) имеют минимум при определенных значениях k; наименьший из этих минимумов и дает значение Â_кр . Оно оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа k_кр = 3,12 в единицах 1/h.

Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h с направленным вниз градиентом температуры А становится неустйчивым при

g b Ah³ / n c > 1 7 0 8 , (3.4)

где c - температуропроводность, n = h/r - кинематическая вязкость, h - динамическая вязкость, b = - r ^{- 1} (¶r/¶T) – температурный коэффициент расширения жидкости, r - плотность жидкости.

При Â > Â_кр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскости ху. Все пространство между плоскостями разделяются на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение k_кр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движения допускают в (3.3) любую функцию j(x, y), удовлетворяющую уравнению (D₂ – k² )j = 0. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому должна осуществляться «двухмерная» структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность – система параллельных полос.

В надкритической области вблизи Â_кр лишь эта структура оказывается устойчивой по отношению к малым возмущениям; «трехмерные» же призматические структуры оказываются неустойчивыми. Экспериментальные результаты существенно зависят от условий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок сосуда) и не однозначны. Трехмерная гексагональная структура связана, по – видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости ( здесь вязкость n рассматривалась постоянной ).

Глава 4. Обзор статей по экспериментальному исследованию конвективной неустойчивости

4.1 Нестационарные конвективные возмущения в горизонтальном слое жидкости

Исследованию устойчивости равновесия плоскопараллельного горизонтального слоя жидкости при наличии вертикального градиента температуры посвящено очень большое число работ[10,11]. В большинстве из них устанавливаются условия, при которых наступает кризис равновесия и отыскиваются стационарные критические движения. Во многих случаях знание критических движений оказывается недостаточным, и представляет интерес изучение всего спектра возмущений, возникающих в теплостратифицированной жидкости. В настоящей работе исследуется спектр нестационарных возмущений горизонтального слоя жидкости со свободными и твердыми границами.

4.2. Численное решение одной нестационарной задачи

Подогрев снизу (a=90°). Рассмотрим теперь случай горизонтального расположения слоя при подогреве снизу[9]. Эта ориентация является в известном смысле особой. Дело в том, что при обсуждаемых условиях подогрева в этом случае возможен чисто теплопроводный режим, когда температура зависит только ог вертикальной координаты и времени, а среда остается неподвижной. Возникновение конвекции происходит тогда в результаге неустойчивости нестационарного равновесия. Эта неустойчивость развивается не сразу, а по прошествии некоторого времени, когда разность температур и ширина неустойчиво стратифицированного слоя станут достаточно большими.

g x

T = 0 a

¶T/¶y = 0 ¶T/¶y = 0

y a

L T = KT 0

Рис.4.1. Нестационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в полости прямоугольного сечения

В отличие от стационарного случая, вопрос о конвективной неустойчивости нестационарного равновесия к настоящему времени изучен совершенно недостаточно. Известно лишь, что нестационарность существенно влияет на характеристики устойчивости и, в частности, на порог конвекции.

Особенности процесса разогрева иллюстрируются картами линий тока и изотерм, приведенными на рис.4.2. и рис 4.3., (l = 5;D = 0,5*10⁶ ).

D = gba⁵ K/n³ , P = n/c,

где K – параметр, поределяющий темп нагрева, D – параметр, определяющий темп нагрева и интенсивность конвекции, l = L/a – относительная длина полости, а – ширина, L – длина полости, Р – число Прандтля

Из рисунков хорошо видно, как возмущения, первоначально возникшие вблизи боковых границ, развиваясь, привели к формированию (к моменту t=0,20) четырех вихрей. Теплое поле, остававшееся на начальной стадии почти теплопроводным (t=0,04; изотермы почти горизонтальны), под влиянием конвективных возмущений принимает сложньй характер, отражающий ячеистую структуру течения. На поздних стадиях процесса имеегся система восходящих и нисходящих струй, разделяющих конвектнвные вихри. В местах столкновения струй с горизонтальными границами наблюдается сильное сгущение изотерм; в этих местах достигаются экстремальные значения локальных тепловых потоков. Обращает на себя внимание «взрывной» характер развития конвекции в момент t = 0,07, очевидно, свидетельствующий о наступлении неустойчивости нестационарного равновесия.

t = 0,20

t = 0,12

t = 0,08

t = 0,06

t = 0,04

Рис.4.2 . l = 5, D = 0,5*10⁶

Дальнейший рост интенсивности конвекции происходит путем колебаний, которые, несомненно, связаны с перестройкой вихревой структуры. Момент t = 0,2, до которого был прослежен процесс, еще не соответствует наступлению регулярного режима нагрева.Отмеченные особенности процесса - взрывной характер возникновения конвекции и формирование структуры, состоящей из нескольких вихрей, подтверждаются расчетами, проведенными для других значений параметров, с увеличением D уменьшается характерное время начала интенсивной конвекции.

Приведенные выше результаты относятся к развитию конвективных возмущений, первоначально зарождающихся вблизи торцов. Эти возмущения создавались ошибками округления при вычислении температуры на теплоизолированных (торцевых) участках границы. В результате переходного процесса формируется симметричная относительно вертикальной оси полости система конвективных вихрей (рис.4.3.).