Реферат: Лекции по физике В.И.Бабецкого
Ну и сразу такое определение:при достаточно хорошей симметрии напряжённость поля может быть найдена из уравнения 
. Значит, при достаточно хорошей симметрии поле всегда может быть найдено вот из этой интегральной теоремы. Ну, у нас это первое уравнение Максвелла. А теперь частные случаи.
1) Центральная (сферическая) симметрия. Пусть плотность заряда 
есть 
. Значит, плотность, которая, вообще, функция координат точки 
, зависит только от 
, то есть только от расстояния до начала координат, это означает, что начало координат – центр симметрии. Вот эта формулка = означает, что плотность на любой сфере радиуса r – константа, какая-то там плотность, ну, и отличная от нуля, на любой сфере она постоянна. Это означает, что распределение обладает сферической симметрией, и создаваемое им поле будет также обладать сферической симметрией. Отсюда следует, что 
(потенциал как функция точки) это есть 
. Отсюда эквипотенциальные поверхности – сферы с центром в начале координат , то есть вот на любой сфере потенциал – константа. Отсюда далее следует, что силовые линии поля, которые являются всегда ортогональными к эквипотенциальным поверхностям, силовые линии поля – вот такие радиальные лучи:
Конструкция электрического поля может быть только такая. А теперь заметьте, здесь никакой специфики электричества не было, все эти выводы получены только из соображений симметрии. Любое векторное поле имело бы такую структуру, какая бы физическая природа у него ни была. Только сила соображения симметрии очень часто позволяет делать выводы безотносительно к конкретному предмету разговора.
=, отсюда дальше следует, что напряжённость поля на любой сфере 
может быть представлен так: 
. Вот это 
, радиус-вектор, делённый на собственный модуль, есть единичный вектор 
в направлении радиус-вектора. Всё. Пишем дальше эту формулу . В качестве замкнутой поверхности, которая фигурирует в интеграле (поток вычисляется по замкнутой поверхности), выбираем сферу 
. Мы её (поверхность) можем брать любой, равенство от этого не зависит, но удобно взять 
. Пишем: 
. Это равенство вследствие того, что 
, - единичный вектор в направлении радиус-вектора (это вектор нормали к сфере, но нормаль к сфере в данной точке совпадает по направлению с радиус-вектором данной точки, эти векторы параллельны), а проекция радиус-вектора на самого себя – это его модуль, конечно, 
. Дальше, во всех точках сферы одно и тоже, выносим за знак интеграла: 
(вот это всё была математика, она к физике никакого отношения пока не имела, а физика – это следующее равенство), эта величина должна равняться интегралу от плотности заряда по объёму сферы, по которой вычисляется поток (интеграл от плотности по объёму это есть полный заряд внутри сферы): 
, где 
– заряд внутри сферы радиуса . И это утверждение верно для сферы любого радиуса. Отсюда вывод – при центральной симметрии напряжённость поля во всех точках сферы радиуса равна:
,
где - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула, одна единственная, добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна – найти заряд, который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжёлая проблема.
Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере , интеграл по объёму можно свести, в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу тут без подробных комментариев 
. Вот это 
объём шарового слоя радиуса 
толщиной 
. Почему я тут штрихи поставил, понятно. стоит в верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования с верхним пределом, там я вместо пишу . Значит, если вот эта функция 
предъявлена, то такой интеграл вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.
