Реферат: Логические методы познания

Так, если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить через S(А) (в традиционной формальной логике А называется объемом понятия, а S(А)-содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение: если АВ, то S(В)S(A).

Обратный переход от более общего к менее общему, или выделение некоторого подкласса А класса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладают некоторые элементы В, другие же не обладают им. Те элементы В, которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В.

Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств, характеризующих класс В, получаем множество свойств, характеризующих подкласс А, т. е. S(В){Р} = S(A), или S(В)S(А).

В нашем примере, если к содержанию понятия "прямоугольник" (к множеству свойств, характеризующих класс прямоугольников) добавить новое свойство (равенство всех сторон), мы получим содержание понятия "квадрат" (множество свойств, характеризующих класс квадратов).

В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных переменными (в переходе от записи отдельных фактов к записи общих закономерностей), а конкретизация - с подстановкой вместо переменных их значений (в обратном переходе).

Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения, который ранее мы изучили в ином аспекте.

Исходным эмпирическим материалом здесь служат непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легко обнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или, наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варьируя число элементов этих множеств, получаем ряд конкретных равенств:

2+3==3+2; 5+7==7+5; 4+8=8+4 и т. п.

Внимательно присматриваемся к этим равенствам с целью выявления содержащегося в них общего и отделения его от частного содержания. Замечаем: в левой части каждого из этих равенств записана сумма двух чисел, в правой - сумма этих же чисел, но записанных в другом порядке. Как же сохранить только это общее, отвлекаясь от конкретных чисел, входящих в эти равенства?

Если просто отбросить эти числа, мы получим форму с "пустыми местами":

" ... + ... = ... + ...",

которая не отражает выявленной общей закономерности, так как не отмечено, какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранить этот недостаток полученной формы, изображают пустые места, которые должны заполняться именами одних и тех же чисел, в виде пустых "окошек" одинаковой формы. В результате получаем:

" x + о = о + x ".

В дальнейшем разъясняется, что в математике для большего удобства вместо пустых "окошек" различной формы применяются различные буквы и получается, например,

а + b = b + а или х+у == у+х.

Эти буквы, играющие роль пустых мест, и называются переменными, а числа, имена которых можно поставить вместо этих букв, - их значениями.

Как видно, обобщение и абстрагирование привело к открытию закона коммутативности сложения и одновременно к важному понятию переменной. Переходом от имен конкретных чисел к числовым переменным и осуществляется обобщение и абстрагирование.

Конкретизация основана на известном правиле вывода называемом правилом конкретизации.

Смысл этого правила интуитивно ясен: из того, что свойством Р обладают все элементы некоторого множества, .следует, что этим свойством обладает произвольный элемент а этого множества. Применяя, например, закон ассоциативности сложения к устному вычислению суммы 7+(93+15), мы применяем (неявно) правило конкретизации: мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативности кванторы общности, подставляем вместо переменных х, у, z постоянные "7", "93" и "15" соответственно и получаем равенство 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, по правилу конкретизации.

Как видно, с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к единичному.

Обобщение, абстрагирование и конкретизация находят широкое применение в специальных методах обучения математике, о которых речь пойдет дальше.

Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей.

Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование. Применение же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использование конкретизации.

Например, пусть некоторая задача описывается с помощью квадратного уравнения

2x - 9х + 2 = 0,(1)

когда учащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.

Это является стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)

аx + bх + с = 0.(2)

Переход от конкретной модели (1) к классу моделей (2), т. е. от единичного к общему, осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел, числовыми переменными.