Реферат: Маса лінії Координати центра ваги плоскої кривої та фігури

П лан

• Маса плоскої лінії
• Статичні моменти і центр ваги
• Обчислення моментів інерції
• Обчислення роботи
• Деякі задачі прикладного характеру

1. Застосування інтегрального числення у фізиці,

механіці, техніці

1.1. Маса плоскої лінії

У класичній механіці матеріальні тіла часто зображують як просторову область , що заповнена без прогалин речовиною. Якщо відома маса тіла і об’єм тієї області , яку вона заповнює, то відношення маси до називається середньою густиною . Часто доводиться мати справу з тілами, в яких густина в околі різних точок різна. Тоді густина буде функцією точки , що належить області , тобто . Якщо розглянути нескінченно малу область , що оточує точку , об’єм якої дорівнює , маса – , то . Звідки

.

У випадку, коли є функцією лише однієї змінної, наприклад , а (саме цей випадок тут і розглядатиметься), то

, (10.13)

де .

Якщо розглядати матеріальну плоску криву з лінійною густиною розподілу мас то маса елементарного кусочка кривої буде звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої

(10.14)

1.2. Статичні моменти і центр ваги

Визначення. Статичним моментом матеріальної точки маси відносно осі (площини) називається добуток маси точки на її відстань від осі (площини) : .

Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про статичний момент відносно площини.

Для системи матеріальних точок мас статичний момент відносно осі (площини) визначається сумою , де – відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться, наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).

Нехай у прямокутній системі координат задана неперервна плоска система матеріальних точок (лінія ) або плоска фігура . Густина (лінійна для лінії, поверхнева для фігури) є функцією однієї змінної, наприклад , тобто

Виділивши на лінії елемент дуги , віддалений від осі на відстань (від осі на відстань ) знайдемо елементарні статичні моменти відносно осей і :

Отже,

(10.15)

Якщо центр ваги має координати ,

Звідси

(10.16)

Розглянемо тепер питання про знаходження центра ваги плоскої фігури, густина маси якої

Рис.10.11

. Якщо центр ваги фігури (рис. 10.11) знаходиться в точці , а маса фігури , то згідно з формулами (10.16) , для знаходження і потрібно знати статичні моменти і масу фігури. Виділимо на осі елемент і побудуємо смужку, паралельну осі . Її довжина дорівнює Оскільки густина є функцією лише , то по всій довжині смужки густину можна вважати сталою, саму смужку – прямокутником (бо – нескінченно мала величина, а тому центр ваги смужки знаходитиметься в точці з координатами ). Маса смужки . Отже,

Знехтувавши нескінченно малою вищого порядку, одержимо Остаточно маємо

(10.17) (10.18)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--