Реферат: Математическая интуиция

Физические интуиции берут свое начало в образах окружающей действительности. Часто этот тип интуиции смешивают с геометрической, однако есть основания разделять их. Так, А. Пуанкаре, как пример геометрической интуиции, рассматривает решение Р. Клейном задачи о том, существует ли на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. При решении этой задачи Р. Клейн “заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием.”[17, стр. 206]. Как видно, Р. Клейн пользуется физическими представлениями, лежащими за пределами просто пространственного воображения.

Физические интуиции сыграли огромную роль в становлении математики. Мы уже отмечали, что физика долгое время была монопольным поставщиком содержательных задач для математики.

Уже первые попытки открыть законы движения дали математике множество задач и сформулировали много ее внутриматематических понятий. Например, Г. Галилей, изучая свободное падение, вначале предположил, что движение должно протекать по закону v =c ·S, где v – скорость, S – путь, а с – постоянное число. Положив путь равным нулю в начальный момент времени, он неожиданно для себя обнаружил, что движение по такому закону происходить не может. И, отбросив этот вариант, он пришел к своим знаменитым уравнениям движения. Однако, уравнение v =c ·S продолжило свою жизнь в исследованиях шотландца Д. Непера, который, посчитав путь в нулевой момент времени отличным от нуля, получил показательную функцию, число е и логарифмы.

Дальнейшее развитие механики породило дифференциальное и интегральное исчисление, теорию дифференциальных уравнений и топологию. Рождение же неклассической механики стимулировало теорию вероятностей и математическую статистику, функциональный анализ и теорию меры.

Интересно то, что, ставя задачи, физика одновременно предлагала математике пути их решения. Возьмем хотя бы теорию уравнений в частных производных. Сами названия и соотношения ее конструкций несут на себе печать физических представлений (потенциал двойного слоя, интеграл энергии, резонанс и т. д.). Более того, попытка формулировки в этой теории чисто математических задач, оторванных от реальности (в частности, попытка построить общую теорию уравнений в частных производных) – ведет к “вырождению важной общематематической теории в бесконечный поток работ “об одном свойстве одного решения одной краевой задачи для одного уравнения” [3, стр. IX].

Обратимся теперь к философским интуициям. Как уже отмечалось, они вступают в дело в переломные моменты истории. В силу того, что наличие таких интуиций практически не описано, я для большей убедительности приведу два, на мой взгляд, ярких примера из истории математики. Первый – это попытка создания интуиционистской программы обоснования математики.

Всего программ обоснования было три – логицизм, интуиционизм и формализм. История создания каждой потребовала от разработчиков незаурядных способностей в философии математики. Однако, по моему мнению, интуиционизм был наиболее экстравагантной программой, т. к. в центр ее ставился человек, что согласитесь, было и остается вызовом для математического знания.

Считается, что интуиционизм родился в 1907 году, когда появилась диссертация Л. Брауэра “Об основаниях математики”. В противовес этой точке зрения современный исследователь интуиционизма М. И. Панов полагает, что рождение его произошло несколько ранее – в 1905 году. Он связывает эту дату с выходом другой работы Л. Брауэра – “Жизнь, искусство и мистицизм”. На первый взгляд этот труд очень далек от математики. И если прочитать те немногие отрывки, которые доступны на русском языке и содержатся в нескольких работах М. И. Панова, то такое мнение только укрепляется. Но все это лишь на первый взгляд. Вот одна из выдержек: “Интеллект напрямую связан с языком. Жизнь приносит в интеллект невозможность самому непосредственным образом – при помощи жеста или взгляда инстинктивно (или более нематериально) через все препятствия – устанавливать отношения друг с другом”, и далее ”<…> никто никогда не смог при помощи языка передать свою душу <…>” [13] И вместе с этим вспомним, что в обосновании интуиционизма Л. Брауэр подчеркивал, что математические построения осуществляются на интуитивном уровне в доязыковой форме, причем “<…> истинным в математике может считаться лишь то, что является интуитивно ясным.” [14, стр. 144]. А необходимость общения и сохранения результатов, требующая их закрепления в языке вела к вычленению логического каркаса, т. е., другими словами, к появлению логики, и затем к потребности в конструировании математических объектов.

В своих исследованиях Л. Брауэр широко использовал интроспекцию – психологический метод, заключающийся в самонаблюдении человека за психологическими реакциями своего сознания. С его помощью он ввел в интуиционизм понятие “идеального математика” или “творящего субъекта”.

Так, одним из основных понятий интуиционизма является свободно становящаяся последовательность, которая предполагает свободный выбор “идеального математика” и формируется в соответствии со следующими правилами: “а) положение какого-либо члена последовательности, определенного актом свободного выбора, не изменяется от результатов последующих актов; б) выбор можно оборвать на любом шаге” [14, стр. 133].

Из всего сказанного видно, что Брауэр–философ предшествовал Брауэру-математику.

Успешность интуиционистской программы обоснования математики позже была поставлена под сомнение Д. Гильбертом. Его философская составляющая так же вызывала много споров [см., например: 15, Глава 4]. Однако, интуиционизм как математическая теория доказал свою жизненность и необходимость в трудах ученика Л. Брауэра А. Гейтинга и нашего соотечественника А. А. Маркова.

Второй пример необходимости философских интуиций в математике мы возьмем из несколько другой области, описав появление неевклидовой геометрии. Честь создания этой геометрии принято делить между тремя учеными в неравной пропорции – между Н.И. Лобачевским, К. Гауссом, Я. Бойяи. До них основным руководством по геометрии на протяжении двух тысяч лет служили “Начала” Евклида. Естественно, что они были детально изучены. И на протяжении двух столетий геометров привлекала особая роль пятого постулата Евклида. Во-первых, он формулировался очень длинно: “если прямая, пересекая две другие прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти прямые, будучи продолжены неограниченно, пересекаются с той стороны от третьей прямой, с которой лежат упомянутые выше углы”. Во-вторых, Евклид впервые воспользовался своим постулатом лишь в 28 предложении.

Все это вело к попыткам доказать пятый постулат, исходя из первых четырех, но все они оказывались безуспешными. Первым, кто усомнился в необходимости этого доказательства, был К. Гаусс. Однако король математики, опасаясь за свою репутацию, не высказал своих идей публично. И впервые они были опубликованы в трудах нашего соотечественника Н.И. Лобачевского, который пришел к ним самостоятельно и, кроме того, развил их в достаточно стройную теорию.

Вначале, он как и все пытался доказать пятый постулат. В сохранившихся записях его лекций от 1816-1817 г.г., содержится такая попытка. Но вскоре ученый понимает тщетность усилий в этом направлении.

Следующим этапом к осознанию новой геометрии послужил труд «Геометрия». В нем он четко проследил какие утверждения не зависят от пятого постулата (их он собрал в первых пяти главах) и какие зависят, т.е. не могут быть получены ни каким образом без его использования. Другими словами он четко выделил то, что сегодня называют абсолютной геометрией. Такое разделение послужило отправной точкой дальнейших размышлений. Которые были реализованы в сочинении «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Оно было представлено научной общественности 11 февраля 1826 года на заседании Отделения физико-математических наук. Основой труда служило допущение, что через точку С, лежащую вне прямой АВ, плоскости АВС проходит несколько прямых, не встречающих АВ. Это короткое высказывание переворачивало все прежние интуитивные представления. И закономерно, что открытие Н.И. Лобачевского было понято лишь по истечении 12 лет после смерти математика. Тот факт, что поворотное допущение столь просто, но влечет за собой большие следствия, свидетельствует о глубоком философском анализе, которому он подверг предшествовавшею ему геометрию. Очевидно, что этот анализ не мог протекать в рамках самой математики и потребовал привлечения внешних, по отношению к ней, соображений.

Из приведенных примеров видно, что философские представления, а если угодно, интуиции, являются необходимыми и крайне полезными на этапе создания новых теорий, причем там им принадлежит решающая роль.

Итак, мы выделили четыре типа интуиции. Можно подумать, что их применение ограничивается только теми областями, названия которых они наследуют в своих именах. Но это далеко не так! Более того, история математики показывает, что как раз вторжение ученых в смежные области может быть очень продуктивным и для этих областей и для самих ученых.

Ж. Дьедоне [11] называет этот процесс переносом интуиции. В своем исследовании он рассматривает взаимодействие теории многообразий, теории аналитических многообразий и теории чисел. И уже на примере работ Римана доказывает всю не очевидность и в то же время эффективность этого взаимодействия. Так, Риман, применив математический анализ к алгебраической геометрии, создал новую теорию, называемую бирациональной алгебраической геометрией кривых. Затем, используя учение о мероморфных функциях на римановой поверхности, он переходит “к понятию из чистой алгебры – полю рациональных функций кривой, которое является попросту конечным расширением поля рациональных дробей над комплексными числами” [11]. Далее, Ж. Дьедоне разворачивает поистине грандиозную картину взаимодействия трех теорий, в которую кроме Римана были вовлечены Дедекинд, Вебер, Куммер, Гендель и др. Такие же процессы наблюдаются не только внутри математики (т. е. не только по линиям аналитическая интуиция – геометрия, геометрическая интуиция - алгебра). Так, в уже цитированном интервью В. И. Арнольда, последний замечает: “топология полезна в квантовой теории, а методы квантовой теории поля приводят иногда к трудным топологическим результатам” [6]. Т. е. здесь мы имеем дело с линиями геометрическая интуиция – физика, физическая интуиция – геометрия.

“Я возлагал на ночь большие надежды <…>. Правильное решение было теперь настолько близко, что мой разум мог совершить последний шаг и во сне. Я счел полезным еще раз мысленно перебрать основные пункты своих рассуждений.”

Шестиугольник. [5, стр. 282]

Механизмы интуиции

После того, как мы выделили основные типы интуиции и обосновали их существование, естественным желанием является попытка вскрыть механизмы их работы. Тут мы должны быть благодарны А. Пуанкаре за то, что он оставил уникальный самоанализ собственного процесса математического открытия в статье “Математическое творчество”. В ней он привел рассказ о том, как был написан мемуар о фуксовых функциях. Вкратце эта история выглядит так. В течение двух недель он пытался доказать, что функций, подобных тем, которые он впоследствии назвал фуксовыми, не существует. Каждый день он тратил один – два часа и безрезультатно перебирал большое число комбинаций. Но однажды вечером он выпил чашку черного кофе и не мог заснуть. И затем с ним произошло следующее: “<…> идеи возникали во множестве и мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого объединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса <…> мне оставалось лишь сформулировать результат, что отняло у меня всего несколько часов”. [17, стр. 404-405] на этом он не обрывает своего повествования, однако для наших целей этого отрывка достаточно, тем более что дальнейшее лишь подтверждает общую схему.

В анализе творческого акта А. Пуанкаре указывает на большую роль бессознательного. Он считает, что в процессе так называемого “отдыха” между сеансами сознательной работы (часто безуспешной) бессознательное создает огромное число комбинаций, большая часть которых абсолютно бесполезна. Далее они все пропускаются через решето особенного эстетического чувства, знакомого каждому реально действующему математику. Это чувство отбирает лишь те математические предметы, “…элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватитьцелое, проникая в то же время и в детали” [17, стр. 410] (вспомним, что интуиция – это способность к свернутым умозаключениям). Особенно важно, что это чувство может приводить к заблуждениям, на что также указывает А. Пуанкаре.

Анализируя процесс математического творчества, Ж. Адамар выделил следующий ряд его этапов [1]. (Интересно сравнить с приведенным выше рассказом А. Пуанкаре). Первый этап – это “подготовка”, когда происходит сознательное исследование проблемы; второй этап – “инкубация”, когда проблема как бы вытесняется в подсознание и исследователь может вообще забыть о ней; третий этап – “озарение”, когда решение проблемы вдруг неожиданно “прорывается” в сознание (иногда этот этап сопровождается психологическим предчувствием); и последний этап заключается в проверке и теоретическом оформлении результатов.

Наиболее загадочным из них является третий. Именно в этот момент по гипотезе Пуанкаре в дело вступает некое особенное эстетическое чувство. Что же лежит в основе этого чувства? На основании чего делается вывод о гармонии между исследуемыми математическими объектами? Эти вопросы, безусловно, сложны (даже само понятие эстетического чувства - гипотетично). Однако все же можно сделать некоторые предположения. По-видимому, в основе эстетического чувства лежат пласты априорного и неявного знания. К априорному знанию как основе математики и математического знания обращались многие философы и математики. Так, И. Кант в своем фундаментальном труде “Критика чистого разума” вопрос о том, как возможна математика, как наука, сводил к вопросу: как возможны синтетические суждения априори? Л. Э. Брауэр положил его в основу своей программы обоснования. А. Пуанкаре так же обращался к этой теме. Например, он считал: “<…> все мы обладаем интуицией непрерывности любого числа измерений, ибо мы имеем способность построить физическую и математическую непрерывности, что эта способность существует в нас до всякого опыта <…>” [17, стр. 580].

Априорное знание при этом у различных философов имеет разные истоки. Так, В.Я.Перминов выводит априоризм и его общезначимость из практической деятельностной ориентации познающего человека. Он полагает, что “представления, лежащие в основе математических понятий, - не абстракции и не теоретические идеализации, а интуиции, проистекающие из деятельностной ориентации познающего субъекта” [15, стр. 47].

Г.Фоллмер и с ним все последователи эволюционной эпистемологии считают, что априорные структуры – “продукт эволюции [и они] принадлежат к генетическому оснащению, когнитивному “инвентарю” индивида, они являются унаследованными и врожденными в широком смысле, поэтому не только независимы от всякого (индивидуального!) опыта, но имеются до опыта и делают вообще опыт возможным ” [20, стр. 157].. Т. о. видно, что вопрос об истоках существования априорного знания требует отдельного исследования. Однако нам достаточно того, что оно существует.

Кроме априорного мы указали на существование неявного знания. Под ним подразумевается то знание, “которым мы пользуемся неосознанно” [19, стр. 68]. Некоторые исследователи считают априорное знание частью неявного. Однако я полагаю, что их следует разделять. Так, априорное знание носит ярко выраженный интрсубъективный характер, тогда как неявное – изначально субъективно, либо зависимо от социокультурных факторов. Так вот, априорное и неявное знание служит тем базисом, с которым мышление соотносит результат работы бессознательного. И если объекты из бессознательного хорошо коррелируют с этим базисом, то это служит сигналом к “прорыву” и “озарению”.

“В ”Госпоже Ленин” хотел