Реферат: Математическая модель всплытия подводной лодки

Траектория движения подводной лодки для заданных начальных условий и =1 изображена на рис. 4.

Решим исходную систему для произвольного значения параметра .

На накладывается ограничение:,

так как только при выполнении этого условия, сила сопротивления оказывается прямо

Рис 4. пропорциональна скорости.

Систему

приведем к нормальной форме Коши, вводя новые переменные.

.

В результате получим систему состоящую из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

.

Начальные условия для которой имеют вид:

.

Решения этой системы для нескольких значений параметра представлены на рис. 5.

Рис. 5 а.

Так как при близких значениях траектория почти не изменяется и графики сливаются, для большей наглядности изобразим их в более крупном виде.

Рис.5 б.

На рис.5 а,б изображены решения исходной системы для

Найдем значение для которого время всплытия будет наименьшим и уравнение движения при этом значении параметра. Очевидно, что если то , и система принимает следующий вид:

,

где - функция, зависящая от времени.

График решения этой системы представлен на рис.6.

Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другим значением . А это значит, что, при данном значении параметра, она всплывет с определенной глубины за минимальное время.

Рис. 6 При отрицательном значении праметра траектория будет практически совпадать с траекторией , но, в этом случае, задача теряет физический смысл.

Заключение.

Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи. Исходную систему, невозможно решить в общем виде, без использования ЭВМ, или численных методов решения задачи.

Но, уже по частным случаям решений, можно увидеть некоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-то выводы.