Реферат: Математические методы в экономике 3

S_j

...

S_k

...

S_n

3.6. Оценки S_j (j=1, ... ,n) векторов условий A_j , которые определяются по формуле:

где c_i - весовые коэффициенты при базисных переменных.

Из этой формулы следует, что коэффициенты z_j вычисляются для каждого столбца как сумма почленных произведений коэффициентов c_i на одноименные коэффициенты j-го столбца. При заполнении симплекс-таблицы при условии, что рассматривается задача максимизации целевой функции, необходимо иметь в виду:

• если S_j ³ 0 для всех j = 1, ..., n, то полученное решение является оптимальным;

• если имеются S_j < 0 и в столбцах A_j , соответствующих этим отрицательным оценкам, существует хотя бы один элемент a_ij > 0, то возможен переход к новому решению, связанному с большим значением целевой функции;

• Из отрицательных оценок выбирают ту, у которой значение по абсолютной величине больше. Если имеется несколько одинаковых отрицательных оценок, то выбирают ту, которой соответствует максимальный коэффициент целевой функции c_i .

• если имеются S_k <0 и в столбце A_k все элементы a_ik £ 0, то в области допустимых решений целевая функция не ограничена сверху.

4. Определяется вектор A_k , который необходимо ввести в базис для улучшения решения, по наибольшему значению S_k . Переменная этого столбца x_k будет новой базисной переменной, которая вводится в базис. Столбец, содержащий эту переменную, называется направляющим столбцом.

5. Определяется вектор, который нужно вывести из базиса, используя равенство:

Это условие позволяет найти направляющую строку. Переменная x_r , соответствующая этой строке, выводится из базисного решения и заменяется переменной x_k направляющего столбца. Элемент a_rk , который стоит на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, называется разрешающим элементом.

6. Заполняется таблица соответствующая новому базисному решению. В этой таблице, прежде всего заполняются клетки строки r с вводимой переменной x_k . Для этого все элементы этой строки делятся на направляющий элемент. Получаются элементы новой строки:

b_r /a_rk , a_r1 /a_rk , ... , a_rn /a_rk .

Остальные элементы новой таблицы определяются по правилу прямоугольника:

??????? ?????????? ?????????????, ????? ??????? ??????????? ??????? ??. ?.?.3.6.

Критерий оптимальности решения для нахождения максимального значения целевой функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.

Критерий оптимальности решения для нахождения минимального значения целевой функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.

§3. «Метод искусственного базиса».

Если ограничения исходной задачи содержат единичную матрицу порядка М, то при неотрицательности правых частей уравнений определен первоначальный план, из которого с помощью симплекс – таблиц находится оптимальный план.

Если ограничения можно привести к виду:

Ах≤А₀ при А₀ ≥0, то система ограничений содержит единичную матрицу всегда.

Если задача не содержит единичной матрицы и не приводится к указанному виду, то для решения задачи используется метод искусственного базиса.

Для получения единичной матрицы к каждому ограничению прибавляют по одной неотрицательной переменной, которые называются искусственными. Единичные вектора, соответствующие искусственным переменным, образуют искусственный базис.

В целевую функцию искусственные переменные добавляются с коэффициентом М, если задана задача на нахождение минимума. В этом случае величина М предполагается достаточно большим положительным числом. Если необходимо найти минимальное значение целевой функции, то искусственные переменные записывают с коэффициентом (-М), который предполагается достаточно малым отрицательным числом. Для нахождения оптимального плана в случае, если заранее не задана величина М, применяется симплекс-метод, который в таблице имеет на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица.

Строка оценок разбивается на две:

(m+1) – оценка, не зависящая от М;

(m+2) – коэффициент при М.