Реферат: Математический маятник

. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (8)
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T ) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

и

,
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT =2p Þ

(9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

j₀ = A , 0 = wB ,

т.е. B =0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

j = j₀ cos wt. (11)

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

,
то (4) можно представить в виде

.
Отсюда, умножая обе части уравнение на d j и интегрируя, получим:

. (12)
Обозначим здесь через j₀ угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j₀ будем иметь, откуда C = w² cosj₀ . В результате интеграл (12) даёт:

, (13)
где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

, (14)
где — работа на перемещении M ₀ M активной силы F , если учесть, что в нашем случае v ₀ =0, и (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j₀ и -j₀ (|j|£j₀ , так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t =0, j=0. (15)

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (16)

Так как

, ,
то

.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

. (17)

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

, где . (18)