Реферат: Математический маятник

,
откуда

.
Кроме того,

.
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

. (19)

По принятым начальным условиям (15) при t =0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t , а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

. (20)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

. (21)
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u , то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

,
или

. (22)

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

. (23)

Функция snu (синус-амплитуда u ) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

. (24)

Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j₀ маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j₀ величина , то из уравнения (20) имеем:

. (25)

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

, (26)
представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что

. (27)
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

.
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

.(28)
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

,
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

. (29)

Следовательно, чем больше j₀ (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода

. (30)

Выводы

Получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для малых колебаний, заокн движения маятника через эллиптическую функцию.