Вычислить
| Ç | È | ò |z | = 2 | dz Ö1 + z 10 | . |
| 50. |
Вычислить + ¥ ò – ¥ | e i k x 1 + x ² | dx . |
|
| 51. |
Вычислить интеграл + ¥ ò – ¥ | e i k x | 1 – e x 1 + e x | dx . |
|
| 52. |
Вычислить первый член асимптотики при k ® ¥ интеграла + ¥ ò – ¥ | e i k x Ö1 + x 2n | dx . |
|
| 53. | Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx /y на компактной римановой поверхности y 2 /2 + U (x ) = E , где U – многочлен, а E – не критическое значение. |
| 54. | x'' = 3x – x 3 – 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии? |
| 55. | Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z . |
| 56. | Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = Ö1 + z n . |
| 57. |
Найти размерность пространства решений задачи ¶u ¶z | = d(z – i ) при Im z ³ 0, | Im u (z )|Im z = 0 = 0, | u |z ® ¥ ® 0. |
|
| 58. |
Найти размерность пространства решений задачи ¶u ¶z | = a d(z – i ) + b d(z + i ) при |z | £ 2, | Im u (z )||z | = 2 = 0. |
|
| 59. |
Исследовать существование и единственность решения задачи | y | ¶u ¶x | = x | ¶u ¶y | , | u |x = 1 = cos y |
в окрестности точки (1, y 0 ). |
| 60. |
Существует ли и единственно ли решение задачи Коши | x (x 2 + y 2 ) | ¶u ¶x | + y 3 | ¶u ¶y | = 0, | u |y = 0 = 1 |
в окрестности точки (x 0 , 0) оси x ? |
| 61. |
При каком наибольшем t решение задачи ¶u ¶t | + u | ¶u ¶x | = sin x , | u |t = 0 = 0 |
продолжается на интервал [0, t )? |
| 62. |
Найти все решения уравнения | y | ¶u ¶x | – sin x | ¶u ¶y | = u 2 |
в окрестности точки (0,0). |
| 63. |
Существует ли решение задачи Коши | y | ¶u ¶x | + sin x | ¶u ¶y | = y , | u |x = 0 = y 4 |
на всей плоскости (x , y )? Единственно ли оно? |
| 64. | Имеет ли задача Коши u ½ y = x ² = 1, (Ñu )2 = 1 гладкое решение в области y ³x 2 ? В области y £x 2 ? |
| 65. | Найти среднее значение функции ln r на окружности (x – a )2 + (y – b )2 = R 2 (функции 1/r на сфере). |
| 66. |
Решить задачу Дирихле | Du = 0 | при x 2 + y 2 < 1; | | u = 1 | при x 2 + y 2 = 1, y > 0; | | u = –1 | при x 2 + y 2 = 1, y < 0. |
|
| 67. |
Какова размерность пространства непрерывных при x 2 + y 2 ³ 1 решений задачи | Du = 0 при x 2 + y 2 > 1; | ¶u ¶n | = 0 при x 2 + y 2 = 1? |
|
| 68. |
Найти | inf | òò | ( | ¶u ¶x | ) | 2 | + | ( | ¶u ¶y | ) | 2 | dxdy | | x ² + y ² £ 1 |
по C ¥ -функциям u , равным 0 в 0 и 1 при x 2 + y 2 = 1. |
| 69. | Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла. |
| 70. | Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x 2 + y 2 £ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x 2 + y 2 + (z – 2)2 = 1. |
| 71. | Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x 2 + y 2 + z 2 = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра. |
| 72. | Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной). |
| 73. | Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + ej (j, q) на его емкость. |
| 74. |
Нарисовать график u (x ,1), если 0 £x £ 1, ¶u ¶t | = | ¶2 u ¶x 2 | , | u |t = 0 = x 2 , | u |x ² = x = x 2 . |
|
| 75. | Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды? |
| 76. |
Исследовать поведение при t ® + ¥ решения задачи | u t + (u sin x )x = eu xx | , | u |t = 0 = 1, | e << 1. |
|
| 77. | Найти собственные числа оператора Лапласа D º div grad на сфере радиуса R в евклидовом пространстве размерности n и их кратности. |
| 78. |
Решить задачу Коши ¶2 A ¶t 2 | = 9 | ¶2 A ¶x 2 | – 2B , | ¶2 B ¶t 2 | = 6 | ¶2 B ¶x 2 | – 2A , |
| A |t = 0 = cos x , | B |t = 0 = 0, | ¶A ¶t | t = 0 | = | ¶B ¶t | t = 0 | = 0. |
|
| 79. |
Сколько решений имеет краевая задача | u xx + λu = sin x , | u (0) = u (π) = 0? |
|
| 80. |
Решить уравнение 1 ò 0 | (x + y )2 u (x ) dx = λu (y ) + 1. |
|
| 81. |
Найти функцию Грина оператора d 2 /dx 2 – 1 и решить уравнение + ¥ ò – ¥ | e – | x – y | u (y ) dy = e –x ² . |
|
| 82. | При каких значениях скорости c уравнение u t = u – u 2 + u xx имеет решение в виде бегущей волны u = φ(x – ct ), φ(–∞) = 1, φ(∞) = 0, 0 ≤ u ≤ 1? |
| 83. | Найти решения уравнения u t = u xxx + uu x , имеющих вид бегущей волны u = φ(x – ct ), φ(±∞) = 0. |
| 84. |
Найти число положительных и отрицательных квадратов в нормальной форме квадратичных форм å 1 ≤ i < j ≤ n | (x i – x j )2 | и | å 1 ≤ i < j ≤ n | x i x j . |
|
| 85. |
Найти длины главных осей эллипсоида å 1 ≤ i ≤ j ≤ n | x i x j = 1. |
|
| 86. | Через центр куба (тетраэдра, икосаэдра) провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний до вершин была: а) минимальной, б) максимальной. |
| 87. | Найти производные длин полуосей эллипсоида x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx = 1 + εxy по ε при ε = 0. |
| 88. | Какие фигуры могут получиться при пересечении бесконечномерного куба { |x k | £ 1, k = 1, 2, ...} двумерной плоскостью? |
| 89. | Вычислить сумму векторных произведений [[x , y ], z ] + [[y , z ], x ] + [[z , x ], y ]. |
| 90. | Вычислить сумму коммутаторов матриц [A , [B , C ]] + [B , [C , A ]] + [C , [A , B ]], где [A , B ] = AB – BA . |
| 91. | Найти жорданову нормальную форму оператора e d/dt в пространстве квазимногочленов {e l t p (t )}, где степени многочленов p меньше 5; оператора adA , B ® [A , B ] в пространстве (n × n )-матриц B , где A – диагональная матрица. |
| 92. | Найти порядки подгрупп группы вращений куба и ее нормальные делители. |
| 93. | Разложить пространство функций, заданных в вершинах куба, на инвариантные подпространства, неприводимые относительно группы а) его симметрий, б) его вращений. |
| 94. | Разложить пятимерное вещественное линейное пространство на неприводимые инвариантные подпространства группы, порожденной циклической перестановкой базисных векторов. |
| 95. | Разложить пространство однородных многочленов пятой степени от (x , y , z ) на неприводимые подпространства, инвариантные относительно группы вращений SO (3). |
| 96. | Каждый из 3600 абонентов телефонной станции вызывает ее в среднем раз в час. Какова вероятность того, что в данную секунду поступит 5 или более вызовов? Оценить средний промежуток времени между такими секундами (i , i + 1). |
| 97. | Частица, блуждающая по целым точкам полуоси x ³ 0, с вероятностью a сдвигается на 1 вправо, с вероятностью b влево, в остальных случаях остается на месте (при x = 0 вместо сдвига влево точка остается на месте). Определить установившееся распределение вероятностей, а также математическое ожидание x и математическое ожидание x ² через большое время, если вначале частица находилась в точке 0. |
| 98. | Каждый из участников игры в очко на пальцах, стоящих по кругу, выбрасывает несколько пальцев правой руки, после чего для определения победителя суммарное число выкинутых пальцев отсчитывается по кругу от водящего. При каком числе участников N вероятность выигрыша хотя бы одного из подходящих N /10 участников становится больше 0,9? Как ведет себя при N ® ¥ вероятность выигрыша водящего? |
| 99. | Один из игроков прячет монету в 10 или 20 копеек, а другой отгадывает. Отгадавший получает монету, не отгадавший платит 15 копеек. Честная ли это игра? Каковы оптимальные смешанные стратегии обоих участников? |
| 100. | Найти математическое ожидание площади проекции куба с ребром 1 на плоскость при изотропно распределенном случайном направлении проектирования. |
К-во Просмотров: 185
Бесплатно скачать Реферат: Математический тривиум