Реферат: Математическое моделирование при активном эксперименте

Поскольку ортогональное планирование позволяет определять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии в отдельности, то, если какой-либо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математическая модель объекта составляется в виде уравнения связи выходного параметра Y и переменных x i , включающего только значимые коэффициенты.

Чтобы проверить гипотезу об адекватности представления результатов эксперимента найденному уравнению связи (иными словами, чтобы проверить, насколько найденное уравнение соответствует экспериментальным результатам), достаточно оценить отклонение выходной величины Y g , предсказанное уравнением регрессии, от результатов экспериментов g в точках факторного пространства.

Рассеяние результатов эксперимента вблизи уравнения связи, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно охарактеризовать с помощью дисперсии неадекватности s 2 ад , оценка которой S 2 ад находится по формуле

(14)

с числом степеней свободы v ад = N-d, где d - число членов аппроксимирующего полинома.

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией неадекватности s 2 ад и дисперсией воспроизводимости s 2 {Y}. Если s 2 ад не превышает дисперсии опыта, то полученная математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента, если же s 2 ад > s 2 {Y}, то описание считается неадекватным объекту.

Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием F-критерия Фишера.

Критерий Фишера позволяет проверить нуль-гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий s 2 ад и s 2 {Y}. В связи с тем, что самих генеральных дисперсий мы не знаем, F-критерий формируется как отношение

(15)

Если вычисленное по формуле (15) значение критерия F меньше табличного F кр , найденного для q%-ного уровня значимости, v числ = v ад = v 4 = N-d числа степеней свободы числителя и v зн = v з = N(m-1) числа степеней свободы знаменателя, то нуль-гипотеза принимается. В противном случае она отвергается и описание (модель) признается неадекватным объекту. Некоторые значения F кр (q=5%;v 4 ;v з ) приведены в табл.П.4

В ходе работы может возникнуть ситуация, когда выборочная дисперсия неадекватности S 2 ад не превосходит оценки дисперсии воспроизводимости S 2 {Y} (т.е. когда S 2 ад £ S 2 {Y}). Тогда соотношение (15) будет равно F £ 1 и неравенство F < F кр выполняется для любого числа степеней свободы v 4 и v 3 , т.е. гипотеза s 2 ад £s 2 {Y} не противоречит выборочным данным и математическая модель адекватно представляет объект.

Проверка адекватности возможна только при v ад = v 4 > 0. Число вариантов варьирования плана ПФЭ равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии уравнения связи (N = d). Следовательно, не остается степеней свободы (v ад = 0) для проверки нуль-гипотезы об адекватности представления экспериментальных данных выбранной формой аппроксимирующего полинома. Если же некоторые коэффициенты регрессии оказались незначимыми или ими можно пренебречь в силу их малости, то число членов проверяемого уравнения в этом случае будет меньше числа вариантов варьирования (d<N), и одна или несколько степеней свободы (v ад >0) останется для проверки гипотезы адекватности.

Если гипотеза адекватности отвергается, то модель признается неадекватной экспериментальным данным. Неадекватность модели не означает ее неправильности! Неадекватность модели может означать, что не весь перечень влияющих факторов был принят во внимание, или что необходимо перейти к более сложной форме уравнения связи, или выбрать другой шаг варьирования по одному или нескольким факторам и т.п. Однако все достижения неадекватной модели: отсев незначимых факторов, оценка дисперсии эксперимента и др. остаются в силе.

Пример 1. Методом ПФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов.

После консультации с экспертами и некоторых предварительных исследований было определено, что на величину сопротивления напыляемых резисторов могут оказывать влияние следующие факторы:

1. Состояние испарителя - "чистое", т.е. порошок для напыления сыпется в стакан испарителя впервые после промывки его сторон, или "грязное", т.е. порошок сыпется в испаритель, в котором осталось некоторое его количество от предыдущего цикла напыления; обозначим этот фактор как x 1 , причем величина x 1 = +1соответствует "чистому", а величина x 1 = -1 соответствует "грязному" состоянию испарителя;
2. Температура подогрева подложки x 2 , причем x 2 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а x 2 = -1 - нижней;
3. Температура испарителя x 3 , причем x 3 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а х 3 = -1 - нижней.

План эксперимента, его пятикратная реализация с учетом рандомизации и первичная обработка результатов представлена в таблице.

номер строки g	Циклы					z 0	z 1	z 2	z 3	z 4	z 5	z 6	z 7	Результаты, кOм					Обработка		Адекватность
																			g	S 2 g	g	(g -g ) 2
	k 1	k 2	k 3	k 4	k 5	x 0	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3	Y g1	Y g2	Y g3	Y g4	Y g5
1	4	2	3	6	8	+	-	-	-	+	+	+	-	11,4	10,5	13,8	14,0	12,1	12,36	2,303	12,10	0,0676
2	3	3	6	2	5	+	+	-	-	-	-	+	+	18,1	17,4	15,2	16,8	19,2	17,34	2,228	17,08	0,0676
3	8	6	2	4	1	+	-	+	-	-	+	-	+	10,8	9,3	11,6	12,1	9,8	10,72	1,387	10,98	0,0676
4	6	1	7	1	6	+	+	+	-	+	-	-	-	18,8	29,6	22,0	22,8	20,7	21,38	2,752	21,64	0,0676
5	5	8	1	3	4	+	-	-	+	+	-	-	+	12,9	12,8	13,6	15,2	14,0	13,70	0,950	13,98	0,0784
6	2	5	5	7	2	+	+	-	+	-	+	-	-	12,0	11,6	14,2	13,4	12,5	12,74	1,118	13,00	0,0676
7	1	7	4	8	7	+	-	+	+	-	-	+	-	15,1	14,8	16,8	18,1	17,0	16,36	1,913	16,10	0,0676
8	7	4	8	5	3	+	+	+	+	+	+	+	+	13,5	11,9	14,3	17,0	16,2	14,58	4,227	14,32	0,0676
å	119,18	16,878	-	0,5410

При первичной обработке результатов экспериментов пользуемся формулами (4) и (5), а затем проверяем воспроизводимость опытов по (7)

Таким образом, подтверждена воспроизводимость опытов (отсутствие в данных грубых промахов), что позволяет, в свою очередь, найти среднюю дисперсию строчных выборок (дисперсию опытов) по (8)

C

v 3 = 8·(5-1) = 32 степенями свободы

Оценки коэффициентов уравнения регрессии ищутся по формуле (11)

и т.д. Аналогично находим b 3 = -0,55; b 12 = +0,61; b 13 = -2,30; b 23 = +0,26; b 123 = -0,81

Проверяем значимость оценок коэффициентов по критерию Стьюдента по формуле (12), предварительно найдя дисперсию оценок по формуле (13)

				;
Тогда		;				;

далее аналогично

t 12 = 2,602

;

t 13 = 9,812

;

t 23 = 1,109

;

t 123 = 3,455

Табличное значение критерия t i (табл.П.2) t кр (5%;v 3 =32) = 2,046, поэтому все найденные оценки коэффициентов, кроме b 23 , признаются значимыми и должны войти в модель

= 14,90 + 1,61x 1 + 0,86x 2 -0,55x 3 + 0,61x 1 x 2 -2,30x 1 x 3 - 0,81x 1 x 2 x 3

Для определения дисперсии адекватности по формуле (14) необходимо сначала найти числовые значения модели g для каждой g-ой строки матрицы планирования, а затем подсчитать сумму квадратов разностей между модельным значением и средним арифметическим g той же строки

Тогда критерий Фишера (15) дает

что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно использовать для управления технологическим процессом испытания резисторов

2. Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2 n становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику).

Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить приближение искомой функциональной зависимости Y = f(X 1 ,...,X n ) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

Так, для решения трехфакторной задачи можно ограничиться четырьмя вариантами (N = 4), если в планировании ПФЭ типа 2 2 произведение x 1 x 2 приравнять к третьей независимой переменной x 3 . Такое планирование, представленное матрицей табл 3, позволяет оценить свободный член b 0 и три коэффициента регрессии при линейных членах b 1 ,b 2 ,b 3 (из четырех опытов нельзя получить более четырех коэффициентов).

Таблица 3
Полуреплика от ПФЭ типа 2 3 (планирование типа 2 3-1 )
g	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4	z 5	z 6	z 7
	x 0	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3
1	+	-	-	+	+	-	-	+
2	+	+	-	-	-	-	+	+
3	+	-	+	-	-	+	-	+
4	+	+	+	+	+	+	+	+

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. совместной оценкой нескольких коэффициентов уравнения связи. В нашем примере, если коэффициенты регрессии b ij при парных произведениях отличны от нуля, то каждый из найденных коэффициентов будет оценкой двух теоретических коэффициентов:

b 0 ® b 0 + b 123 ; b 2 ® b 2 + b 13 ;

b 1 ® b 1 + b 23 ; b 3 ® b 3 + b 12 .

Действительно, указанные коэффициенты в таком планировани