Реферат: Математизация науки и ее возможности

далее он выявил важные для него отношения между ними:

в среднем все особи одинаковы

популяция сардин увеличивается, если нет встреч с хищником

скорость роста ее численности пропорциональна самой численности (так как каждая особь может произвести потомство)

число сардин, гибнущих от хищников пропорционально числу встреч с ними, а это число в среднем пропорционально xy

популяция хищников уменьшается при отсутствии сардин (гибнут от голода)

скорость этой убыли пропорциональна численности хищников

скорость прироста числа хищников пропорциональна числу их встреч с кормом-сардинами, то есть величине xy.

Являясь крупным специалистом в теории дифференциальных уравнений, Вольтерра рассматривает x и y как фунции от времени и быстро находит необходимый объект в математике – систему обыкновенных дифференциальных уравнений

где A, B, C, D – некоторые положительные коэффициенты, зависящие от конкретных природных условий. Изучая затем эту систему методами, разработанными другими математиками задолго до него, Вольтерра получает описание и объяснение многих явлений, замеченных за долгую историю рыболовства в Италии, таких например, как странные колебания величины улова сардин (а значит и их общей численности).

Этот пример показывает еще одну идею моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации. Здесь, это допущения одинаковости особей, равновероятности их встреч, равновозможности производить потомство. Мы как-будто бы абстрагируемся от конкретной сардины и выделяем только нужные для нас ее свойства. Конечно в итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления, но в данном случае нам это и требовалось. Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметно расширились, но некоторые задачи, например долгосрочное прогнозирование погоды, до сих пор являются недоступными.

Удивительным образом оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать много разнообразных явлений в различных областях. Например, одно дифференциальное уравнение может описывать и рост численности популяции, и химический распад, и цепную ядерную реакцию, и распростронение информации в социальной группе. В чем причина такой всеприминимости математических моделей? Ответа на этот вопрос математика не дает. Вот что говорит академик В.И.Арнольд в лекции [2]:

Почему модель сечения конуса описывает движение планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон видел в этом доказательство существования Бога:”Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа…Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель”.

Но можно дать и следующее некоторое “обоснование” этому факту. Когда исследователь изучает какое-то явление и строит скажем количественную модель, он стремится к простоте модели и выделяет только небольшое число параметров и отношений между ними. В итоге, по огромному количеству явлений получаем модели, связанные скажем с определенными дифференциальными уравнениями. Но в теории дифференциальных уравнений эти уравнения классифицированы в достоточно небольшое число типов, которые различаются по свойствам и методам их решения. В итоге и получается, что дифференциальные уравнения (а значит и модели) для большого числа явлений попадают в один класс, в котором они практически неразличимы.

Помимо моделей, связанных с дифференциальными уравнениями, есть еще огромное число других моделей, в том числе и не количественных (то есть не связанных с какими-либо числовыми параметрами). Например, в математической логике и теории алгоритмов существует модель, описывающая работу человека, решающего какую-нибудь проблему по строго описанной программе (рецепту). Эта модель называется машиной Тьюринга и придумана в 1936 году английским математиком Аланом Тьюрингом в связи с проблемой формализации понятия алгоритма. Она оказалась очень полезной для разработки первых ЭВМ, и с тех пор является общепринятой математической моделью современных компьютеров.

Тьюринг исходил из следующих упрощений:

в процессе работы, человек (компьютер) имеет дело с наборами символов (словами) из конечного множества (алфавита)

в начале работы на некотором носителе информации, например в тетради (ленте) записан вход

в конце работы, на ленте пишется выход

лента разделена на ячейки, каждая либо пуста, либо там есть один символ алфавита

лента потенциально бесконечна и одномерна (то есть каждая ячейка имеет двух соседей: правого и левого)

в процессе работы человек может за один шаг записывать символ в текущую ячейку (если она занята, то предварительно стереть содержимое) и читать его, а также сдвигаться вправо или влево

все вышеописанные действия он выполняет в строгом соответствии с программой, которая по текущему обозреваемому символу и текущему состоянию человека (их конечное число) говорит, какой символ записать в ячейку, куда сдвинуться (вправо или влево) и как сменить состояние

человек останавливает вычисления, когда попадает в некоторое выделенное состояние (заключительное)

Откуда такая модель могла возникнуть? Например из анализа работы математика, который что-то решает в тетради: на первых страницах записано условие задачи – слово в достаточно большом (но конечном!) алфавите; далее он согласно некоторым правилам своей науки (программе!) и своему внутреннему состоянию (этих состояний много, но конечно), листая тетрадь то вперед, то назад, записывая и стирая символы, постепенно решает задачу. Попав в заключительное состояние (поняв, что ответ найден), он останавливается. Есть и возможность того, что он никогда не остановится – модель это не запрещает.

Удивительно то, что эта простая модель, прекрасно описывающая работу современных компьютеров, родилась раньше, чем появились первые ЭВМ.

Из каких этапов состоит построение математической модели? Это зависит, вообще говоря, от области, в которой разрабатывается эта модель. Например, в экономике этапы можно выделить такие [3]:

Определение цели, то есть чего хотят добиться, решая поставленную задачу.