Реферат: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Будем называть прогонку корректной , если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой , если |δ _i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }.

Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

Теорема

Пусть коэффициенты b_i и d_i уравнения (1) при i =2,3,..., n -1 отличны от нуля и пусть

| c_i |>| b_i |+| d_i | i =1,2,…, n . (4)

Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. с _i + b_i δ_{i -1} ≠ 0, |δ _i |< 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

При i = 1, в силу (4), имеем:

| c₁ |>| d ₁ |≥ 0

- неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же

|δ ₁ |=|- d₁ / c₁ |< 1

Предположим, что знаменатель (i -1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δ _{i -1} |< 1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем:

|с _i + b_i δ_{i -1} |≥| c_i | - | b_i δ_{i -1} |>| b_i |+| d_i | - | bi |*| δi _-1 |= | d_i |+| bi | (1 - |δ_{i -1} |)> | d_i | >0

а с учетом этого

|δ _i |=|- d_i / с _i +b_i δ_i-1 |=| δ _i |/| с _i +b_i δ_i-1 |< |δ _i |/ |δ _i |= 1

Следовательно, с _i + b_i δ_{i -1} ≠ 0 и |δ _i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.

Пусть А – матрица коэффициентов данной системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть

δ ₁ = - d₁ / c₁ , δ _i =|- d_i / c_i +b_i δ_i-1 (i=2,3,...,n -1 ),δ _n =0

- прогоночные коэффициенты, определяемые первой из формул (3), а

∆ _i = с _i + b_i δ_{i -1} (i =2,3,..., n )

- знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно утверждению теоремы). Непосредственной проверкой легко убедится, что имеет место представление A = LU , где

c₁ 0 0 0 ... 0 0 0

b₂ ∆₂ 0 0...0 0 0

L= 0b₃ ∆₃ 0 ...0 0 0

…………………………

0 0 0 0 ... b_{n -1} ∆ _n-1 0

0 0 0 0 ... 0 b_n ∆ _n

1 -δ₁ 0 0 ... 0 0 0

01 δ₂ 0...0 0 0