Реферат: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными

матрицами коэффициентов

Выполнил: студент группы ЭА-04-2

Романенко Н.А.

Проверил: Королева В.В.

Магнитогорск 2004

Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем , к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:

b_i x_{i -1} + c_i x_i + d_i x_i = r_i (1)

где i =1,2 ,...,n ; b ₁ = 0, d_n = 0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка . Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:

c₁ d₁ 0 0 ... 0 0 0 x₁ r₁

b₂ c₂ d₂ 0...0 0 0 x₂ r₂

0 b₃ c₃ d₃ ...0 0 0 x₃ r₃

. . . . ... . . . * ... = ...

0 0 0 0 ... b_{n -1} c_{n -1} d_{n -1} x_{n -1} r_n-1

0 0 0 0 ... 0 b_n c_n x_n r_n

Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ _i и λ _i ( i =1,2 ,...,n ) , при которых

x_i = δ _i x_i+1 + λ _i (2)

т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение x_{i -1} = δ _{i -1} x_i + λ _{i -1} подставим в данное уравнение (1):

b_i δ_i-1 x_i + b_i λ _i-1 + c_i x_i + d_i x_i+1 = r_i

откуда

x_i = - ((d_i /( c_i + b_i δ_i-1 )) x_i-1 + (r_i - b_i λ _i-1 )/( c_i - b_i δ _i-1 )).

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i =1,2,…, n выполняются рекуррентные соотношения

δ_i = - d_i /( c_i + b_i δ_i-1 ) , λ _i = (r_i - b_i λ _i-1 )/( c_i - b_i δ _i-1 ) (3)

Легко видеть, что, в силу условия b ₁ =0 , процесс вычисления δ _i , λ _i может быть начат со значений

δ₁ = - d₁ / c₁ , λ ₁ = r₁ /c₁

и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i =2,3,..., n , причем при i = n , в силу d_n =0, получим δ _n = 0.Следовательно, полагая в (2) i = n ,будем иметь

x_n = λ _n = (r_n – b_n λ _n-1 )/( c_n – b_n δ _n-1 )

(где λ _{n -1} , δ _{n -1} – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся x_{n -1} , x_{n -2} ,…, x ₁ при i = n -1, n -2,...,1 соответственно.

Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки , сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ _i , λ _i по формулам (3) при i =1,2,…, n (прямая прогонка ) и затем неизвестных x_i по формуле (2) при i = n -1, n -2,...,1 (обратная прогонка ).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--