Реферат: Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

Множество квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где — присоединенная к А матрица.

Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (, ,..., ) будет единицей кольца матриц.

Для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det (A) R, причем det (AB) = det (A) det (B).

= — группа матриц порядка n с обратимым определителем. Любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det (A) 0, то есть матрица невырождена.

В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые.

А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае, если В — ненулевая матрица.

Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R, и K имеют единицы, но они не равны друг другу.

Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом, = diag (1,1,...,1,0) = diag (1,1,...,1).

Допустим, — некоторое подкольцо. К, + — подгруппа коммутативной группы R,+, можно образовать факторгруппу R / K, элементами которой являются смежные классы r + K.

Поскольку К * К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r + K) * (s + K) r * s + r * K + K * s + K.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x * K K и K * y K.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r * s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Согласно данной интерпретации, К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: .

К будет обладать свойствами ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами.

Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и называется гомоморфизмом колец .

Пусть — сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп называется ядром гомоморфизма . Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Пусть — гомоморфизм колец, I = Ker , — любой элемент. Тогда, (x * I) = (x) * (I) = (x) * 0 = 0. Значит, x * I Ker = I.

Аналогично проверяется, что I * x I.

Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.

Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу

Приведем примеры.

Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

Если любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x.

Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) = S.

Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ, так как для любого целого m m (nZ) nZ. Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля.

Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося каждому элементу смежный класс r + I, получаем сюръективный гомоморфизм , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.