Реферат: Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

Наиболее интересным и полезным в плане понимания сущности факторного анализа — метода решения задач в этих ситуациях, является пример использования наблюдений при эксперименте, который ведет природа, Ни о каком планировании здесь не может идти речи — нам приходится довольствоваться пассивным экспериментом.

Удивительно, но и в этих “тяжелых” условиях ТССА предлагает методы выявления таких факторов, отсеивания слабо проявляющих себя, оценки значимости полученных зависимостей показателей работы системы от этих факторов.

Пусть мы провели по n наблюдений за каждым из k измеряемых показателей эффективности некоторой экономической системы и данные этих наблюдений представили в виде матрицы (таблицы).

Матрица исходных данных E[n·k]

E 11	E12	…	E1i	…	E1k
E 21	E22	…	E2i	…	E2k
…	…	…	…	…	…
E j1	Ej2	…	Eji	…	Ejk
…	…	…	…	…	…
E n1	En2	…	Eni	…	Enk

Пусть мы предполагаем, что на эффективность системы влияют и другие — ненаблюдаемые, но легко интерпретируемые (объяснимые по смыслу, причине и механизму влияния) величины — факторы.

Сразу же сообразим, что чем больше n и чем меньше таких число факторов m (а может их и нет вообще!), тем больше надежда оценить их влияние на интересующий нас показатель E.

Столь же легко понять необходимость условия m < k, объяснимого на простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на обнаружение более пяти “новых”, легко объяснимых, но неизмеряемых признаков у таких предметов, даже если мы “испытаем” очень большое их количество.

Вернемся к исходной матрице наблюдений E[n·k] и отметим, что перед нами, по сути дела, совокупности по n наблюдений над каждой из k случайными величинами E1, E2, … E k. Именно эти величины “подозреваются” в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности.

Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой разброса случайной величины E i служит ее дисперсия, определяемая суммой квадратов всех зарегистрированных значений этой величины S(Eij)2 и ее средним значением (суммирование ведется по столбцу).

Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений, т.е. вместо Ei j будем использовать случайные величины

Xij = ,

то мы преобразуем исходную матрицу в новую

X[n·k]

X 11	X12	…	X1i	…	X1k
X 21	X22	…	X2i	…	X2k
…	…	…	…	…	…
X j1	Xj2	…	Xji	…	Xjk
…	…	…	…	…	…
X n1	Xn2	…	Xni	…	Xnk

Отметим, что все элементы новой матрицы X[n·k] окажутся безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xij составит, к примеру, +2, то это будет означать только одно - в строке j наблюдается отклонение от среднего по столбцу i на два среднеквадратичных отклонения (в большую сторону).

Выполним теперь следующие операции.

· Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и разделим результат на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1 , т.е. D1. Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех наблюдаемых (но уже нормированных) величин.

· Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n) для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1). То, что мы теперь получим, называется ковариацией C12 случайных величин X1 , X2 и служит мерой их статистической связи.

· Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в результате получим еще одну, квадратную матрицу C[k·k], которую принято называть ковариационной.

Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k).

Ковариационная матрица C[k·k]

D1	C12	C13	…	…	C1k
C21	D2	C23	…	…	C2k
…	…	…	…	…	…
Cj1	Cj2	…	Cji	…	Cjk
…	…	…	…	…	…
Cn1	Cn2	…	Cni	…	Dk

Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице {3-29} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или корреляционную матрицу

R [k·k]

1	R12	R13	…	…	R1k
R21	1	R23	…	…	R2k
…	…	…	…	…	…
Rj1	Rj2	…	Rji	…	Rjk
…	…	…	…	…	…
Rn1	Rn2	…	Rni	…	1

в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции.

Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k·k] диагональной, с единицами в главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили подтверждение.

Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?

Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).

Дальнейший ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k·k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только матрицей R[k·k], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде.

Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei.

Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных Zj ( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k):