Реферат: Наближене розв язування рівнянь графічне відокремлення коренів методи проб хорд і дотичних Д

Напишемо рівняння хорди :

і покладемо в нього . Знайдемо - абсцису точки перетину

хорди з віссю :

Із умов, яким задовольняє функція , випливає, що Позначимо через точку кривої , відповідну (рис.7.3).

Розглянемо хорду та знайдемо її точку перетину з віссю

при цьому

Продовжуючи цей процес, означимо послідовність :

Послідовність - монотонна, обмежена і збіжна. Можна довести, що .

Абсолютна похибка -го наближення оцінюється за нерівністю

де - найменше значення на відрізку Тому можна зупинити процес тоді, коли стане менше допустимої похибки результату.

3 . Метод дотичних

Проведемо дотичну до кривої в точці (рис.7.4 ).

Саме в цій точці збігаються знаки функції та (дотична

до кривої в точці може перетнути вісь за межами відрізка

).

Рис.7.3 Рис.7.4

Знайдемо точку перетину цієї дотичної з віссю . Рівняння дотичної запишемо у вигляді:

.

Покладемо в цьому рівнянні . Знайдемо - абсцису точки перетину дотичної з віссю :

,

Значенню відповідає точка кривої . Абсциса точки перетину дотичної до кривої в точці з віссю буде

.

Продовжуючи цей процес, знайдемо

.

Послідовність - монотонна і обмежена. Можна довести, що .

Абсолютна похибка -го наближення може бути оцінена за нерівністю

.

Якщо потрібно обчислити корінь рівняння з

абсолютною похибкою, не більшою від заданого числа то закінчуємо обчислення при

.

Зауваження. На практиці часто використовують обидва методи. Одним методом одержують наближення шуканого кореня з нестачею, а другим – з надлишком.

Яким саме методом одержується наближення кореня з нестачею, а яким – з надлишком, залежить від функції . Якщо врахуємо, що кожна послідовність та - монотонна, то легко знаходити корінь з заданою точністю, оскільки знаки, що збігаються в наближеннях та (в наближеннях та ) є правильними.