Реферат: Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)
С первой задачей возникли проблемы следующего характера: часть учеников, не обратив внимания на то, что в данной задаче параллелограмм определяется однозначно (высота 4 см может быть проведена только к стороне 3 см), выдали два ответа (12 см2 и 20 см2 ); ещё одна часть учеников остановилась на одном решении, просто не рассмотрев возможный второй случай (ответ либо 12 см2 либо 20 см2 ); и лишь один ученик сначала задал вопрос о том, сколько решений может иметь задача, и, получив совет "Думай!", выдал полное и правильное решение.
Со второй задачей у большей части учащихся дело обстояло практически так же, т.е. большинство указало только один ответ (даже подсказка о том, что решений может быть и больше, им не помогла), остальные – два ответа, но без обоснований. И лишь один ученик (тот же, что решил и первую задачу) решил самостоятельно и правильно эту задачу, выдав два ответа с аргументацией.
Как видим, результаты экспериментов показывают, что школьники не в состоянии самостоятельно справиться с задачами указанных типов. Они не ставят перед собой вопросов о переизбыточности, недостаточности или противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем начать её решение, не возвращаются с полученным решением к началу задачи, чтобы проверить его. Из чего можно заключить, что сформированность навыков решения математических задач у учащихся средних школ (даже в специализированных классах) является далеко не полной.
При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время всё же делают довольно грубые ошибки в решении, объясняющиеся прежде всего их неумением проводить такой анализ. При решении задач переопределённых, но имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие хоть сколько–нибудь завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. Т.е. необходимость работы над задачей после получения ответа, необходимость анализа этого ответа, выявление его соответствия тексту задачи формируются у учащихся за более длительный срок и затратой больших усилий как самих учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этот процесс намного раньше, чем в десятом классе.
При решении задач неопределённых учащиеся не умеют перебирать всевозможные случаи, которые возникают из–за этой неопределённости, и часто либо находят одно решение, либо пишут, что задача не решается.
Итак, ответ на поставленный вопрос очевиден: сами учащиеся не готовы к решению неопределённых и переопределённых задач, этому нужно их целенаправленно учить. Как? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала задумаемся о том, чему могут научить задачи с «аномальным» условием?
II . Обоснование целесообразности задач с «аномальным» условием
Для ответа на последний вопрос рассмотрим исследуемые типы задач более подробно, чтобы определить, что конкретно требуется от ученика при решении каждого из них.
1. Неопределённые задачи – задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких–то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.
Примеры:
1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны.
2. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?
3. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом?
С первого взгляда ясно, что задача 1 не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а .
Получим:
10 + 8 > a ;
a + 10 > 8;
a + 8 > 10;
а из этой системы следует, что
2 < a < 18.
Таким образом, нам удалось уточнить ответ с фразы "задачу невозможно решить" до вполне определённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня.
И во второй задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например, невозможны ответы 333 м и 250 м, хотя и по разным причинам. Первое невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно, т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько же этих единиц там может быть?
Если в поезде х цистерн, то платформ х+4 , а вагонов х+8 . Вместе: 3х+12 . Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный ответ: 25(3х+12) м, где х – натуральное число. Над "дизайном" ответа можно поработать, если переписать его так: 75(х+4) . А теперь, переобозначив буквой х (или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант ответа: 75х м, где х – натуральное число, не меньшее пяти.
Что ни говори, а такое решение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стапроцентным результатом.
Третья из указанных здесь задач предлагалась девятиклассникам лицея. Результат тот же: "Задача не решается...". Только дополнительная просьба назвать несколько возможных ответов подтолкнула лицеистов к анализу и в конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: х %, где х Î(50;100].
Вывод : решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.
Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически, одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме. В качестве такого примера можно рассматривать задачу: При каких значениях положительного параметра a уравнение loga x=ax будет иметь единственное решение и указать его. Эта задача была предложена нашей группе (группа «А» IV курса физико–математического Могилёвского университета, 1997 год) на занятиях по дидактике математики для самостоятельного решения, что помогло студентам группы весьма существенно повторить и углубить знания по широкому спектру школьного курса алгебры и начал анализа.
Вообще, уравнения и другие задачи с параметрами можно рассматривать как частные случаи неопределённых задач. Проблемность перехода к таким задачам ощущают учителя уже при переходе от уравнений 7х =12, 0х =3, –5х =0, 0х =0 к линейному уравнению общего вида: ах= b . Предварительная тренировка в решении неопределённых задач и здесь была бы целесообразной и полезной.
2. Задачи переопределённые – задачи с избыточным составом условия, с лишними данными, без которых ответ мо?