Реферат: Нестандартный анализ

(10) если и , то ;

(11) если , то для любого ;

(12) если , , то ;

если , , то .

В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.

ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ

Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.

Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.

По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равные нулю. Гипердействительное число называется бесконечно малым, если все суммы

и т. д.

меньше 1. Здесь через обозначен модуль гипердействительного числа , определяемый так.

Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимеда.

Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если

и т.д.

Если, бесконечно мало, но отлично от нуля, то число бесконечно велико. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число бесконечно мало. Отсюда следует, что все бесконечно большие числа нестандартны.

Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. Каждое конечное гипердействительное число можно представить в виде где - стандартное число, а - бесконечно малое. Пусть - конечное гипердействительное число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие и большие . Т.к. конечно, то оба класса не пусты. По “аксиоме полноты“ существует действительное число , разделяющее эти классы. Легко видеть, что будет бесконечно малым. Число называется стандартной частью конечного гипердействительного числа . Обозначается это так: . Таким образом, множество конечных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы называются монадами. Монадой стандартного числа называется множество всех бесконечно близких к нему гипердействительных чисел.

Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галактики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипердействительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой малой; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик.

ЧТО ЕЩЕ НУЖНО ОТ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ?

Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.

Прежде всего, мы получаем не архимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f, *g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А, на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g - продолжением для g . При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий грубо говоря, что гипердействительные аналоги стандартных объектов обладают теми же самыми свойствами, что и исходные стандартные объекты.

Покажем теперь, как принцип переноса позволяет нам обосновать наши примеры. Пример 1 становится вполне корректным: нужно сказать лишь, что производной функции в стандартной точке называется стандартная часть отношения . Во втором примере рассматривается функция извлечения корня и её гипердействительное положение. Мы пользуемся равенством ; первое из них представляет собой стандартное определение квадратного корня, второе получается по принципу переноса.

Приведем еще два примера “нестандартных определений” стандартных понятий. Пусть - последовательность действительных чисел, или, другими словами, функция из N в R. Её нестандартный аналог представляет собой функцию из *N в *R; значение этой функции на гипернатуральном числе m естественно обозначать .

Определение предела. Стандартное число называется пределом последовательности , если все бесконечно далекие члены этой последовательности бесконечно близки к , т.е. для всякого нестандартного гипернатурального числа разность бесконечно мала.

Определение предельной точки. Стандартное число называется предельной точкой последовательности , если некоторые бесконечно далёкие члены последовательности бесконечно близки к , т.е. существует такое нестандартное гипернатуральное число , что разность бесконечно мала.

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ?

Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его определение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое.

Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а некоторые - “малыми”, причем выполнены следующие свойства:

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.

2. Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества - малым.

3. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого - большим.

4. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение дух больших множеств - большим.

5. Всякое конечное множество является малым, всякое множество, имеющее конечное дополнение - большим.

С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархимедово расширение поля действительных чисел.

Будем говорить, что последовательности эквивалентны, если равенство “выполнено почти при всех i “, т.е. Если множество тех i , при которых , большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности - класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.

Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс содержит последовательность , класс - последовательность . Назовем суммой классов и класс, содержащий последовательность ,а произведением последовательность . Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.