Реферат: О математике как педагогической задаче
Сократ. Приведенных тобой примеров вполне достаточно. Попытаемся теперь подытожить все, к чему мы пришли. Итак, насколько можно судить, математика занимается изучением вещей, не существующих в природе, и позволяет утверждать об этих вещах неоспоримые истины. Можно ли сказанное мною считать итогом всех наших предыдущих рассуждений или же я несколько исказил их сущность?
Гиппократ. Клянусь Зевсом, ты точно выразил самую суть нашей беседы.
Сократ. Тогда скажи мне, дорогой Гиппократ, не кажется ли тебе странным, что, если верить сказанному мной, о несуществующих вещах мы знаем больше и знания наши более определенны, чем о вещах существующих?
Гиппократ. Это действительно странно, хотя понять, как такое может быть, выше моих сил. Я и не нахожу ошибок в наших рассуждениях, но меня не покидает ощущение, что где-то в них все же вкралась ошибка, только я не знаю, где именно.
Сократ. Но ведь каждый шаг в наших рассуждениях мы проверяли весьма тщательно и рассматривали со всех сторон. Ошибки здесь быть не может. Впрочем, подожди! Мне сейчас пришла в голову одна мысль, которая поможет нам объяснить эту загадку.
Гиппократ. Говори, не медли! Неопределенность мне тягостна.
Сократ. Не далее как сегодня утром я был у второго архонта *, где разбиралось дело жены плотника из деревушки Питтос. Она обвинялась в том, что нарушила супружескую верность и с помощью любовника убила мужа. Женщина упорно лгала и клялась Артемидой и Афродитой, что никого не любила так, как своего мужа, и утверждала, будто мужа убил грабитель. Были допрошены многие свидетели. Одни утверждали, что женщина виновна, другие клятвенно заверяли архонта в ее невиновности. Установить истину так и не удалось.
Гиппократ. Ты поступаешь со мной не очень-то красиво, Сократ. Вместо того чтобы помочь мне найти истину, сбиваешь с толку и рассказываешь какие-то странные истории. Может быть, ты опять вздумал вновь посмеяться надо мной?
Сократ. Ты несправедлив, дорогой Гиппократ. Я не без умысла заговорил о женщине, виновность которой невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Одно лишь можно утверждать об этой женщине со всей определенностью: она существует. Я видел ее своими глазами, да и не только я один, а все, кто собрался в зале суда у второго архонта. Я могу назвать несколько почтенных людей, заслуживающих доверия, не солгавших ни разу в жизни даже в помыслах.
Гиппократ. В этом нет ни малейшей необходимости, дорогой Сократ. Твоего свидетельства для меня вполне достаточно, но, молю тебя, скажи, какое отношение имеет эта несчастная женщина к математике?
Сократ. Гораздо большее, чем ты думаешь. Но скажи прежде, знаешь ли ты предание об Агамем¬ноне и Клитемнестре?
Гиппократ. Кто же его не знает. В прошлом году мне довелось видеть трилогию Эсхила в театре.
Сократ. Напомни кратко ее сюжет.
Гиппократ. Пока Агамемнон, царь Аргоса, вел десятилетнюю осаду Трои, его супруга Клитемне¬стра, нарушив святость брачных уз, вступила в преступную связь с двоюродным братом мужа Эгистом. Когда же после падения Трои Агамемнон возвратился домой, Клитемнестра вместе со своим любовником убила мужа.
Сократ. Скажи, Гиппократ, откуда Эсхилу стало известно, что Клитемнестра изменила мужу и убила его?
Гиппократ. Знаю, почему тебе пришло в голову расспрашивать меня о том, что хорошо известно каждому эллину. Эту историю можно найти и у Гомера: когда Одиссей был в преисподней, то встретил там тень Агамемнона, которая и поведала ему о своей печальной судьбе.
Сократ. Скажи мне, дорогой Гиппократ, а ты уверен, что Агамемнон и Клитемнестра действительно жили когда-то на свете и Гомер, повествуя о них, не уклонился от истины?
Гиппократ. Может быть, я заслуживаю, чтобы меня побили камнями, но позволь мне сказать со всей прямотой: я убежден, что по прошествии стольких веков невозможно с уверенностью сказать, жили ли такие люди, и если жили, то, как сложилась их судьба. Впрочем, это не имеет ни малейшего отношения к делу: ведь, говоря об Агамемноне и Клитемнестре, мы имеем в виду не реальных людей из плоти и крови, о которых, даже если они некогда и жили, нам известно весьма немного, а действующих лиц трагедии Эсхила, которых он изображает в духе гомеровской традиции.
Сократ. Правильно ли я тебя понял, дорогой Гиппократ? По-твоему, мы можем утверждать лишь, что о реальной Клитемнестре и реальном Агамемноне, если они когда-нибудь жили на свете, нам почти ничего не известно. Зато о Клитемнестре и Агамемноне, персонажах трагедии Эсхила, мы в праве со всей определенностью утверждать все, что нам известно о них со слов Эсхила. В частности, мы, не колеблясь, можем заявить, что Клитемнестра, о которой повествует Эсхил, изменила Агамемнону, упоминаемому в трагедии, и убила его.
Гиппократ. Ты правильно схватил суть моих слов, но я по-прежнему не понимаю, куда ты клонишь.
Сократ. Сейчас поймешь. Подумай сам, разве герои трагедии Эсхила — реально существующие люди?
Гиппократ. Нет.
Сократ. Смотри, что получается. Мы можем неопровержимо установить, что Клитемнестра из трагедии, порожденная поэтическим воображением и, по всей видимости, никогда не существовавшая в действительности, изменила другому вымышленному персонажу трагедии, Агамемнону, и убила его, хотя не можем выяснить, изменила ли живая женщина из плоти и крови, представшая сегодня перед судом, своему мужу и убила ли она его.
Гиппократ. Кажется, я начинаю догадываться, куда ты клонишь, но все же предпочел бы, чтобы ты сам сделал вывод.
Сократ. Изволь. Сдается мне, дорогой Гиппократ, что речь идет о том же, к чему мы пришли, рассуждая о математике. О несуществующих, вымышленных людях, персонажах трагедии, мы знаем несравненно больше (и знания наши носят более определенный характер), чем о людях реально существующих, живущих на земле. Что, собственно, означает наше утверждение о виновности Клитемнестры? Лишь то, что виновна Клитемнестра, вымышленная и описанная Эсхилом, поскольку ее виновность со всей очевидностью следует из трагедии. Это очень напоминает пример с прямоугольником, который ты привел со слов Теэтета, когда мы говорили о математике. Можно с уверенностью утверждать, что диагонали прямоугольника равны, поскольку это с абсолютной ясностью следует из свойств прямоугольника, каким его определяют математики.
Гиппократ. Итак, насколько я могу понять, ты, Сократ, утверждаешь, что математики занимаются изучением чего-то, существующего не в действительности, а лишь в их воображении, и располагают о своих «вымыслах» гораздо более достоверными знаниями, чем естествоиспытатели о том, что существует в действительности. Сколь ни парадоксальным кажется поначалу твое утверждение, оно, тем не менее, верно. Более того, если поразмыслить над ним, то оно перестает казаться удивительным и становится вполне естественным. Математика, занимающаяся изучением воображаемых, не существующих в природе объектов, именно потому и может устанавливать о них истину, что эти объекты такие, какими их создали. Реально существующие объекты ведут себя иначе. Они могут отличаться от общего представления о них, сложившегося у человека.
Сократ. Вот видишь, дорогой Гиппократ, ты докопался до истины и выразил ее лучше, чем смог бы сделать я сам.»
Третий диалог завершает предыдущие. В нем Альфред Реньи языком Галилея говорит о невозможности исследования законов природы в отрыве от предмета математики и ее языка. Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на математическом языке, и поэтому прочесть ее может только тот, кто знаком с ним, за века, прошедшие со времени Возрождения, много раз подтверждалась. Почти все технические разработки, большие и малые, описываются языком математических формул, графиков, схем. Сам математический язык не остается неизменным. По мере возникновения новых задач познания природы на математическом древе появляются новые ветви, вырастают новые корни. Математическая символика стала языком стенографической записи абстрактной мысли. Она делает научное изложение кратким и определенным, позволяет без дополнительных трудностей воспринимать сообщаемую информацию и не оставляет места для неточности выражений и расплывчатых толкований. Этот язык дает неограниченные возможности для общения с автоматом. Именно математике, как языку науки, посвящен заключительный диалог «Беседа о языке книги природы».
"Галилей. Свою мысль я выражу иначе: читать великую Книгу Природы может лишь тот, кто знает язык, на котором написана эта Книга, и язык этот — математика. Те, кто лишь болтает о природе, вместо того чтобы наблюдать ее и при помощи экспериментов заставлять рассказывать о себе, никогда не смогут по-настоящему постичь природу. Но если нам удастся заставить природу заговорить, то она заговорит на языке математики, и если мы не будем знать этого языка, то напрасными окажутся все наши старания: понять, о чем говорит с нами природа, невозможно. Заблуждается тот, кто считает (а таких, к сожалению, немало), что язык этот достаточно изучить лишь поверхностно, легко может случиться, что он не поймет то, о чем говорит природа, а если сам попытается что-нибудь сказать на языке математики, то раздастся лишь жалкий лепет. Среди естествоиспытателей найдется немало философов, которые придерживаются весьма странных (я бы сказал, даже варварских) взглядов на математику. Ныне они уже не могут отрицать, что математика необходима, но полагают, будто каждому, кто применяет математику для изучения природы, нет надобности знать ее в совершенстве. Эти недальновидные люди утверждают, что их интересуют лишь конечные результаты, и у них нет ни времени, ни желания вдаваться в детали доказательств или вникать в точные формулировки теорем. Это столь же неслыханная глупость, как если бы кому-нибудь пришло в голову заявить: «Обрежем корни и листву дерева, потому что нам нужны только его плоды». Математика — единое целое, и тот, кто хочет вкушать от ее плодов, должен, желает он того или нет, не забывать об этом.