Реферат: Об “арифметических возможностях” компьютера и “компьютерных возможностях” арифметики
Реализация операций в арифметике с плавающей запятой требует необходимости выравнивания порядков при сложении и вычитании и нормализации результатов. Если диапазоны чисел, представимых в арифметике с фиксированной запятой и с плавающей запятой, соизмеримы, то числа с фиксированной запятой могут более точно представлять (кодировать) величины, так как свободны от часто необходимой для чисел с плавающей запятой операции округления. При машинной реализации такая операция обычно выполняется в устройстве-предшественнике (например, сумматор) с высокой точностью (большой разрядностью), а затем отсылается в устройство-преемник (например, регистр) с учётом заданной (например, декларированной в описаниях типов и структур данных) точности или с сохранением всех значащих разрядов. Таким образом, копирование непосредственного результата операции происходит либо с помощью операции округления, либо с помощью операции усечения.
Эти две основные операции (кроме арифметических операций) вводятся следующим образом:
усечение, отбрасывание цифр числа до определённого разряда, например, до ближайшего, меньшего целого числа и т.п.;
округление, усечение с коррекцией числа по определённым правилам, например, до числа кратного заданному числу, до ближайшего целого и т.п.
Пример. Операция взятия целой части числа x (функция Антье - [x] или int(x)) - операция усечения, [2.65]=2, [—1.999]=—2. Операция взятия целой части числа x+0.5 вместо значения числа х есть округление {x} до ближайшего целого, {1.05}={0.91}=1, {2.61}=[2.6+0.5]=3.
Задачи и упражнения
Задайте 20 - ую систему счисления и выполните операции над числами в этой системе.
В саду 1000 деревьев - 140 яблонь и 420 груши. В какой системе счисления посчитаны эти деревья? Найдите общее число деревьев в саду в шестнадцатеричной системе.
Имеются ящики: 4 черных, 3 красных, 2 желтых и 1 зеленый (ящики посчитаны в десятичной системе). В каждом черном ящике - (21)p шара, красном - (23)p шара, жёлтом - (23)p шара, зелёном - (111)p шара. Определить основание p системы счисления, в которой были посчитаны шары, если всего было (244)p шаров. Чему равно общее число шаров в восьмеричной системе?
Число х=(176)p (рассматриваемая в системе счисления с основанием р, 1<р<20) делится нацело на 7. Найти р (не перебирая все указанные р). Вычислить х в восьмеричной системе.
Найти основание системы р (в которой было выполнено сложение) и неизвестные цифры (обозначены *), если 24**1+*235*=116678.
Какова разрядность двоичной системы счисления, в которой представим лишь диапазон чисел из интервала (—255; 255)?
Найти числа, соответствующие понятиям “нуль” и “бесконечность” в 10-разрядной десятичной системе счисления и сравнить их. Указать эти числа для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем.
Сформулировать какие-то признаки делимости на 8 (на 11) числа x записанного в системе счисления с основанием p=12, не переводя эти числа в десятичную систему. Рассмотреть другое значение р.
Найти число х, записанное в системе счисления с основанием р, если оно совпадает со своим дополнительным кодом. При каких р это возможно?
Найти все ошибки в следующих утверждениях и объяснить все причины их появления:
а) 1111111111=210 —1,
б) 7777777777=7´ 1111111111=7´ (210 —1),
в) 7777777777=810 —1,
г) из б) и в) следует, что 7´ 210 — 6=810 или 230 =7168 (!).
Запишите числа 0, 42, 1000, 1, -25, -100 в формате целых чисел в шестнадцатеричную ячейку памяти, изобразив ее схематически.
Запишите числа 99, 12.5, 0.025, -4.18, -0.01 в формате вещественных чисел с фиксированной запятой (ячейка памяти- 16-разрядна, разряды 1-8 отводятся под целую часть, разряды 9-15 - под мантиссу, 0 - знак). Оцените погрешность такого представления чисел.
Какое максимально положительное и минимально отрицательное число можно записать в указанную для задачи 12 ячейку памяти?
Запишите числа 99, 9999, 12.7, 0.005, -64.5, -0.002, 0 в формате чисел с плавающей запятой в ячейку памяти разрядности 16 (нулевой разряд - знак числа, первый разряд - знак порядка, 2-12 разряды - мантисса, 13-15 разряды - порядок). Оцените погрешность такого представления чисел.
Какое максимально положительное и минимально отрицательное число можно записать в ячейку памяти, указанную в задаче 14?
Какой минимальной разрядности должна быть ячейка памяти у условной трехадресной ЭВМ с однородной памятью, если она имеет набор из 50 различных команд и 2 мегабайта адресуемой памяти, а адресуется каждый байт.