Реферат: Обчислення визначника методом Гауса

Зазначимо без доведення, що розглянуті вище властивості 1–8 визначників другого та третього порядків справджується для визначників довільного порядку.

Використання цих властивостей дає змогу замінити обчислення визначників високих порядків за формулою на простіше.

Мінором М_ik , що відповідає елементу а_ik (1і,kn) матриці називається визначник, який відповідає матриці, утвореній з матриці викреслюванням і – го рядка та k – го стовпця.

Алгебричним доповненням А_ik елемента а_ik (1і, kn) матриці називається відповідний мінор, взятий зі знаком „плюс”, якщо сума його індексів парна, і зі знаком „мінус”, якщо сума його індексів непарна :

А_ik =( -1)^{i + k} М_ik .

Теорема 3.1. Значення det(A) визначника, що визначає матрицю, дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або довільного стовпця на відповідні алгебричні доповнення :

det(A)=a_i1 A_i1 +a_i2 A_i2 +…+a_in A_in (i=1, 2,…,n);

det(A) =a_1k A_1k +a_2k A_2k +…+a_nk A_nk (k=1,2,…,n).

Доведемо теорему стосовно визначника третього порядку. Формула дає

det(A)=a₁₁ (a₂₂ a₃₃ -a₂₃ a₃₂ )+a₁₂ [-(a₂₁ a₃₃ -a₂₃ a₃₁ )]+a₁₃ (a₂₁ a₃₂ -a₂₂ a₃₁ )=a₁₁ A₁₁ +a₁₂ A₁₂ +a₁₃ A₁₃ .

Аналогічно

det (A)=a₂₁ A₂₁ +a₂₂ A₂₂ +a₂₃ A₂₃ =…=a₁₃ A₁₃ +a₂₃ A₂₃ +a₃₃ A₃₃ .

Доведена теорема дає можливість звести обчислення визначника n – го порядку

(n3) до визначника (n–1)–го порядку. Формули називають формулами розкладання визначника за елементами і–го рядка (k–го стовпця).

Теорема 3.2. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) матриці на алгебричні доповнення відповідних елементів іншого її рядка (стовпця) дорівнює

нулю :

a_i1 A_j1 +a_i2 A_j2 +…+a_in A_jn =0(ij ;j=1,2,…,n);

a_1k A_1s +a_2k A_2s +…+a_nk A_ns =0(ks; s=1,2,…,n).

Текст програми на мові Turbo Pascal.

Uses crt;

const n=4;

var

m,v,vv,mm:array [1..n,1..n] of real;

I,j:integer;k,d:real;

begin

writeln(‘введи матрицю’);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

readln(m[I,j]);