Реферат: Оптимальная частотно-временная фильтрация
Средняя мгновенная мощность B(t1 ,t2 ) нестационарного процесса может быть выражена через ФСК
(12)
Таким образом, вклад в мгновенную мощность нестационарного процесса вносит не только составляющая с частотой w , но и все коррелированные с ней. Это означает, что средние энергетические характеристики нестационарного процесса не локализуемы по частоте, откуда следует невозможность представления энергетических характеристик нестационарного процесса с помощью однократных интегралов в частотной области.
Средняя по времени спектральная плотность мощности нестационарного процесса может быть выражена через ФСК
(13)
Спектральная плотность нестационарного процесса характеризует вклад составляющих в интервале частот (w + dw ) и всех коррелированных составляющих с другими частотами.
Для стационарных процессов автокорреляционная функция зависит только от разности моментов времени t = t1 vt2 , и в этом случае
(14)
Для стационарных процессов все частотные составляющие некоррелированы.
При модуляции стационарного белого шума детерминированным опорным напряжением r (t) ФСК зависит только от разности частот
(15)
где D w = w 1 - w 2 . Например, при стробировании стационарного белого шума периодической последовательностью импульсов средняя по времени спектральная плотность уменьшается в скважность раз; это можно наблюдать на экране анализатора спектра. Но появляется свойство, которое нельзя наблюдать на экране анализатора спектра - между спектральными составляющими появляется корреляция.
Парадокс. Предположим, что осуществляется оптимальный прием отрезка периодической последовательности импульсов на фоне белого шума. Как известно, оптимальным в данном случае является согласованный гребенчатый фильтр. Теперь включим на входе оптимального гребенчатого фильтра стробирующее устройство (перемножитель на последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды) так, чтобы импульсы сигнала проходили без искажений. Спектральная плотность шума на выходе стробирующего устройства уменьшится в скважность стробов раз. Казалось бы, что отношение сигнал-шум на выходе гребенчатого фильтра должно увеличиться, но оно и так было максимально возможным, поскольку фильтр оптимальный. Разрешить парадокс помогает появление корреляции между спектральными составляющими. Ясно, что суммирование "гребенок" фильтра со сфазированными гармоническими составляющими сигнала и коррелированными составляющими шума результирующее отношение сигнал-шум не повысит.
Частотно-временная фильтрация может с успехом использоваться в спектральных дискриминаторах временных интервалов [7]. В некоторых радиоканалах, например, телеметрических каналах сверхдальней космической связи или GPS [1], отношение сигнал-шум оказывается Pс /Pш << 1. В таких каналах можно использовать временное уплотнение телеметрической информации путем передачи периодически повторяющихся пар импульсов для накопления, в интервале между которыми и заключается сообщение.
Способ дискриминирования отклонения временного интервала от заданного значения между импульсами периодической двухимпульсной последовательности (рис.1) заключается в следующем [7]. Огибающая амплитудного спектра (рис.2) такой последовательности находится в жесткой связи с интервалом между импульсами; сравнивая амплитуды определенных гармоник, можно судить о величине и знаке отклонения интервала tинт между импульсами пары от заданного значения t 0 .
Рис. 1. Периодическая двухимпульсная последовательность.
Разложим временной процесс (рис.1) в тригонометрический ряд Фурье, т. е. вычислим спектр сигнала. При этом выражение для амплитуды n-й гармоники примет вид
(16)
где A - амплитуда импульсов; n - номер гармоники частоты повторения 1/T; T v период следования пар импульсов; t имп - длительность импульсов; t инт - длительность интервала внутри пар импульсов.
Рис. 2. Нормированная огибающая амплитудного спектра периодической двухимпульсной последовательности.
Огибающая спектра (рис.2) образуется произведением двух компонент: sin(p nt имп /T)/p n, постоянного для данной последовательности и обусловленного формой импульсов, и cos(p n/T)t инт , обусловленного интерференцией между одинаковыми по амплитуде, но отличающимися по фазе на угол j = 2(p n/T)t инт гармониками отдельных импульсов в парах вследствие их сдвига во времени на величину tинт (в пределах периода T/2). При изменении t инт меняются амплитуды всех гармоник. Найдем номер гармоники n0 , амплитуда которой изменяется быстрее других. Дважды продифференцировав второй сомножитель по tинт и приравняв 2-ю производную нулю -cos(p n/T)t инт =0, откуда номер оптимальной гармоники
n0 = T/(2k-1)/2t0 , k = 1,2,3, ... (17)
где tинт = t 0 + D t ; D t - отклонение интервала от заданного значения t 0 . Оптимальные гармоники, имеющие максимальную скорость изменения амплитуды в зависимости от D t (максимальную крутизну), имеют нулевую амплитуду. Отклонение t инт в любую сторону от t 0 приводит к резкому увеличению амплитуды гармоники, а информация о знаке D t содержится в фазе гармоники. В этом случае выделение информации о знаке D t затруднительно.
Для определения величины знака отклонения проще не выделять оптимальную гармонику n0 , а измерять разность амплитуд двух гармоник n1 и n2 , расположенных по обе стороны относительно "провала" в огибающей спектра сигнала n0 . На рис.2 эти гармоники выделены: n1 =n0 vD n и n2 =n0 +D n.
При увеличении интервала t инт относительно t 0 провал в спектре, соответствующий n0 при D t =0, смещается влево, к нулевой частоте, амплитуда гармоники n1 уменьшается, а n2 - увеличивается. При уменьшении t инт все получается наоборот. Для компенсации первого сомножителя в формуле (16) при дальнейшей обработке амплитуды гармоник n1 и n2 можно выровнять.
Реализация предложенного способа может осуществляться при помощи устройства, состоящего из двух узкополосных фильтров, настроенных на гармоники n1 и n2 , выпрямителей и дифференциально включенного измерительного прибора. В этом случае напряжение сигнала на приборе можно представить
