Реферат: Оптимизация. Методы многомерного поиска

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1).

Продолжительность эксплуатации

(проектный параметр)

Рис.1. Одномерная целевая функция

Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется "функция компромисса", позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

1.3 Поиск минимума и максимума

Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный.

1.4 Пространство проектирования

Так называется область, определяемая всеми n проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

1.5 Ограничения - равенства

Ограничения - равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид C (x ,x , …x ) =0,C (x ,x , …x ) =0, C (x ,x , …x ) =0.

Если какое-либо из этих соотношений можно разрешить относительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи.

1.6 Ограничения - неравенства

Это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколь угодно много, причем все они имеют вид

z£r (x , x , … x ) £Z

z£r (x , x , … x ) £Z

…………………………….

z£r (x ,x , …x ) £Z

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

1.7 Локальный оптимум

Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На Рис.6.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

1.8 Глобальный оптимум

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений, соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Как ставится задача оптимизации, лучше всего показать на примере.

2. Методы многомерного поиска

На первый взгляд может показаться, что различие между методами многомерного и одномерного поиска состоит лишь в том, что первые требуют большего объема вычислений и что в принципе методы, пригодные для функций одной переменной, можно применять и для функций многих переменных. Однако это не так, поскольку многомерное пространство качественно отличается от одномерного.

Прежде всего с увеличением числа измерений уменьшается вероятность унимодальности целевой функции. Кроме того, множество элементов, образующих многомерное пространство, гораздо мощнее множества элементов одномерного пространства. Объем вычислений, необходимых для сужения интервала неопределенности в многомерном пространстве, является степенной функцией, показатель которой равен размерности пространства.

Так, если в случае одномерного пространства для достижения /==0,1 требуется вычислить 19 значений целевой функции, то в случае двумерного пространства это число составляет 361, трехмерного-6859, четырехмерного - 130 321, а пятимерного-2476 099! Поскольку при выборе оптимальной конструкции нередко приходится иметь дело с пятью и более переменными, серьезность трудностей, обусловленных многомерностью, становится очевидной.

По традиции методы оптимизации в многомерном пространстве делятся на две большие группы - прямые и косвенные . Прямые методы основаны на сравнении вычисляемых значений целевой функции в различных точках, а косвенные - на использовании необходимых и достаточных условий математического определения максимума и минимума функции.

Стратегия прямых методов - постепенное приближение к оптимуму; при использовании косвенных методов стремятся найти решение, не исследуя неоптимальные точки. В данной главе представлены наиболее распространенные алгоритмы, применяемые для решения многомерных задач оптимизации, сравниваются некоторые написанные на языке Фортран программы их реализации и даются общие указания по выбору алгоритма для решения той или иной задачи.

3. Метод покоординатного подъема

Логическим развитием рассмотренной выше методики одномерного поиска было бы последовательное изменение каждого проектного параметра до тех пор, пока не будет достигнут максимум целевой функции. По завершении этой процедуры для всех переменных можно вернуться к первой и посмотреть, нельзя ли еще более усовершенствовать решение. Этот метод, называемый методом покоординатного подъема, не всегда позволяет найти оптимальное решение. Можно показать двумерную целевую функцию, которая будет подходящая для решения задачи этим методом. Ее особенность состоит в том, что линии уровня близки по форме к окружностям или эллипсам, оси которых параллельны осям координат. Если же эти оси наклонены к осям координат, то эффективность алгоритма снижается, так как для нахождения оптимума приходится вычислять гораздо больше значений целевой функции. Метод покоординатного подъема совершенно неприменим, если линии уровня имеют точки излома. Поскольку линии уровня такого типа весьма часто встречаются в инженерной практике, то прежде, чем воспользоваться указанным методом, следует убедиться, что решаемая задача не имеет подобного недостатка. Несмотря на это, метод покоординатного подъема часто используют на первой стадии решения задачи, применяя затем более сложные методы. К достоинствам метода покоординатного подъема следует отнести возможность использования простых алгоритмов одномерного поиска, таких, как метод золотого сечения.

Один из возможных примеров алгоритмов.

f (x) - > min, xÎRⁿ

x⁰ -начальное приближение (массив [1: n])

Будем считать, что нам известна функция