Реферат: Опыт применения критерия Сильвестра в некоторых задачах устойчивости консервативных систем

Последний определитель третьего порядка вычисляем по правилу Саррюса

А поэтому

Следовательно, условия устойчивости равновесия этой системы определяются неравенствами

Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра

Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова, рассмотрим прямой метод для автономных систем.

Рассмотрим некоторые вещественные функции

определённых в области

(1)

Где -постоянное положительное число.

Предполагается что в области (1) эти функции однозначны, непрерывны и обращаются в нуль, когда все х₁ , . . . , х_n равны нулю, т.е.

V(0)=0 (2)

Если в области (1) функция Vкроме нуля может принимать значения только одного знака, то она называется знакопостоянной (соответственно положительной или отрицательной). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том случае, когда все х_г , . . . . . ., х_п равны нулю, то функция Vназывается знакоопре-деленной (соответственно определенно-положительной или определенно-отрицательной). Функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знакопеременными функциями. Введенные таким образом функции V, используемые для исследования устойчивости движения, называются функциями Ляпунова.

Рассмотрим признаки, с помощью которых можно определить характер функции V. Прежде всего заметим, что знакоопределенная функция Vдолжна содержать все переменные х_ъ . . ., х_п . Действительно, пусть, на- пример, функция Vне содержит переменную х_п . Тогда при х_г = . . . = х_п ^ = 0, функция Vбудет обращаться в нуль, что недопустимо для знакоопределенных функций.

Пусть знакоопределенная функция V— У (х) непрерывна вместе со своими производными. Тогда при х_} = . . . = х_п — 0 она. будет иметь изолированный экстремум и, следовательно, все частные производные первого порядка, вычисленные в этой точке, будут равны нулю (необходимые условия существования экстремума)

( 3)

Разложим функцию Vв ряд Маклорена по степеням х₁ , . . . , х_n

где точками обозначены члены высшего порядка. Учитывая соотношения (2) и (3), получим

(4)

Здесь постоянные числа c_kj =c_jk определены равенствами

(5)

Из формулы (4) видно, что разложение ш-ткоопре-делЕенной функции V в ряд по степеням х_ъ . . ., х_п не содержит членов первой степени.

Предположим ,что квадратичная форма

(6)

принимает положительные значения и в нуль обращается только при х₁ =. . . =х_т = 0. Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при достаточно малых по модулю Xfфункция У будет принимать также положительные значения и в нуль она булет обращаться только при х_г = . . . = х_п = 0. Таким образом, если квадратичная форма (6) определённо-положительна, то и функция V будет определённо-положительной.

Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (6):