Реферат: Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X^* :=L(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A^* : Y^* -X^*

Теорема: Банаха A:X-Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $A^-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A^-1 -ограничен.

Теорема: A^-1 $и ограничен -$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)

Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно -"e>0 $конечная e-сеть

Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно - все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) - A^* Îs(X^* ,Y^* )

Линейные нормированные пространства

1. Пространства векторов

сферическая норма

кубическая норма

ромбическая норма

p>1

2. Пространства последовательностей

p>1

или пространство ограниченных последовательностей

пространство последовательностей, сходящихся к нулю

пространство сходящихся последовательностей

3. Пространства функций