Реферат: Пирамида и призма

Определение . Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁ A₂ …A_n и B₁ B₂ …B_n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и nчетырёхугольников A₁ A₂ B₂ B₁ , A₂ A₃ B₃ B₂ , …, A_n A₁ B₁ B_n .

Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A₁ A₂ …A_n и B₁ B₂ …B_n ). Отрезки A₁ B₁ , A₂ B₂ , …, A_n B_n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды (СН). Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции . Усечённую пирамиду с основаниями A₁ A₂ …A_n и B₁ B₂ …B_n обозначают так: A₁ A₂ …A_n B₁ B₂ …B_n . Усечённая пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники , а боковые грани – равнобедренные трапеции . Высоты этих трапеций называются апофемами (КК₁ ) Свойства усечённой пирамиды:

1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки

2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании

3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды

Теорема . Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований. Площадь поверхности усечённой пирамиды S =(1/2)* m *( P + P ₁ ), где m – апофема Теорема . Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. S _бок =1/2*(Р_в +Р_н )* m , где m – апофема, Р_в , Р_н – периметр верхнего и нижнего оснований Объём усечённой пирамиды: V=(1/3)*h*(S₁ + √ S₁ S₂ +S₂ ), где S₁ , S₂ – площади оснований. Площадь боковой грани S _бок.гр. =1/2* m *( g + g ₁ ), где m – апофема, g , g ₁ – основания боковой грани

Тетраэдр.

Определение . Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды. Тетраэдр является частным случаем пирамиды.
Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCAобозначается так: DABC
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями .
Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами .
Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра.
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными .
Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием , а три другие – боковыми гранями.
Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней.
Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным .
Свойства равногранного тетраэдра:	описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник у него имеются три оси симметрии все трёхгранные углы равны все медианы (тетраэдра) равны все высоты (тетраэдра) равны центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают радиусы описанных окружностей граней равны периметры граней равны площади граней равны
Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным	Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: S2 =S2 1 +S2 2 +S2 3
Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным .
Объём правильного тетраэдра.	V=(a3 * √ 2)/12
Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре	R=(a* √ 6)/4
Высота правильного тетраэдра	H=(a* √ 6)/3
Площадь поверхности правильного тетраэдра	S=a2 * √ 3
Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра	r = (a* √ 6)/12

Список используемой литературы

1. Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996
2. Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994
3. Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995
4. Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996

[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.