Реферат: Подвійний інтеграл його властивості
Поняття про міру Жордана 1) . В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:
1) якщо прямокутник з основою і висотою то
2) якщо і мають міри то
3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини і то
Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.
В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.
Поверхня називається гладкою , якщо в довільній її точці
можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою , якщо її можна
розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.
Для трьохвимірних обмежених областей з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число , що задовольняє таким властивостям:
1) якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами то
2) якщо і мають міри то
3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини і то
1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик
Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.
Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.
Нехай в вимірному просторі задана обмежена область з кусково-гладкою границею і на (або на ) задана функція Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці і складемо суму
яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції що відповідає даному розбиттю.
Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум коли максимальний діаметр частинних множин ( ) і вона не залежить від вибору точок в , а також не залежить від способів розбиття області , то ця границя називається кратним інтегралом від функції на (або по ). Отже,
. (11.6)
Зауваження. Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області , чи для її замикання не має значення, оскільки де кусково-гладка границя області А кусково-гладка границя області має вимірну міру нуль .
2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування
Будемо надалі вважати області із кусково-гладкими границями.
10 . Справедлива рівність
(11.7)