Реферат: Подвійний інтеграл його властивості

що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що

Але тоді

За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа в трьохвимірному – об’єм В - вимірному випадку формула (11.7) дає - вимірну міру

Нижче ми допускаємо, що для функцій , , , про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.

2⁰ . Справедлива рівність

(11.8)

де і константи.

3⁰ . Якщо область з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини і то

(11.9)

4⁰ . Якщо

то має місце нерівність

(11.10)

Доведення властивостей 3⁰ і 4⁰ аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.

5⁰ . Справедлива нерівність

(11.11)

Дійсно, враховуючи, що отримаємо в силу (12.8) (при ) і (4.10)

тобто (11.11).

6⁰ . Якщо то

(11.12)

константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:

7⁰ . ( Теорема про середнє ). Нехай функція неперервна в замкнутій області яку ми будемо вважати зв’язною ¹⁾ . Тоді існує точка така , що виконується рівність

(11.13)

Д о в е д е н н я. Оскільки функція неперервна в замкнутій області то вона досягає в цій області свого найменшого та найбільшого значень Тому