Реферат: Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості
П лан
- Похідна за напрямком
- Градієнт функції
- Основні властивості
1 . Похідна функції за напрямком і градієнт
Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки в точку функція одержує приріст
, (7.46)
який називається приростом функції в заданому напрямку .
Якщо є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника одержуємо , , отже,
. (7.47)
Означення . Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто
. (7.48)
З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .
Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому
,
де і при і . Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо
.
Отже,
.
Переходячи до границі в останній формулі при ,тобто при і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:
. (7.49)
Приклад . Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю .
Р о з в ’ я з о к.
.
Зауваження . Для функції її похідна в напрямку дорівнює
(7.50)
Рис.7.10 Рис.7.11
При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .
Означення . Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці :
(7.51)
Тут - орти координатних осей і .
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--