Реферат: Похідні і диференціали вищих порядків Функції задані параметрично їх диференціювання

При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .

Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.

Нехай маємо складну функцію , де функції і мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді має диференціал ,

де - похідна за аргументом , а .

Знайдемо . Згідно з означенням

.

Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то

Остаточно дістанемо таку рівність:

. (6.70)

Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок , який у випадку не дорівнює нулю.

Якщо функція задана параметрично

то її друга похідна обчислюється за формулою

(6.71)