Реферат: Поняття функції 5

д) у = nl.

а) Х =

б) Х =

в) Х =

г) Х =

д) формула у = n!ставить у відповідність кожному натуральному числу п чис­ло у = n!. Наприклад, якщо n= 3, то у = 3! = 1 • 2 • 3 = 6, якщо n = 5, то у = 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Отже, X= Z₀ (вважають, що 0! = 1).

Ці приклади показують, що областю існування функції можуть бути досить різноманітні множини: відрізок, кілька або навіть нескінченна кількість відрізків, дискретна множина точок тощо.

Зазначимо, що задача знаходження множини У значень аналітичне заданої функції набагато складніша і пов'язана з задачею про екстремуми функції (гл. 6, п. 6.3).

При графічному способі задання функції у = f (х) відповідність між змінними х і у задається графіком — множиною точок (х; у) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність у =f(x). Залежно від того, яку задано функцію, графік її може скла­датись з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини то­чок площини тощо.

Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов'язаних з використанням таких самописних приладів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму або напруги), електрокардіо­граф (для запису електричних явищ, пов'язаних з діяльністю серця), термограф (для запису змін температури повітря) тощо. Криві (їх називають відповідно барограма, осцилограма, електрокардіограма, термограма), що їх виписують прилади, задають цілком певну функ­цію, властивості якої характеризують перебіг того чи іншого процесу.

Графіки функцій можна спостерігати на дисплеях комп'ютерів. У математиці графіками широко користуються для геометричного зображення функцій, навіть тоді, коли ці функції задані аналітичне. Якщо функція у = f (х) задана на деякій множині Xформулою, то завжди можна вважати, що їй відповідає певний графік, який визначає цю функцію геометричне. А якщо функція задана довільним графі­ком, то чи можна її задати деякою формулою? Це дуже складне запи­тання. Щоб відповісти на нього, потрібно з'ясувати, який зміст має по­няття формули. Якщо функція у = f (х) задана формулою, то ми по­ки що вважаємо, що функція у утворюється за допомогою скінченного числа таких операцій над х, як додавання, віднімання, множення, ді­лення, добування кореня, логарифмування, взяття sin, агсsіn тощо. Математичний аналіз дає змогу значно розширити поняття формули. Зокрема, формулою вважається також і нескінченний ряд, членами якого є ті чи інші функції, тобто допускається нескінченне число опе­рацій над цими функціями. За допомогою таких формул більшість кривих, що зустрічаються на практиці, можна задати аналітичне (гл. 9)..

Приклади

1. Графіком функції у = 2n - 3 n N є нескінченна множина ізольованих точок, які лежать на прямій у = 2х — 3.

2. Графіком функції у = |х| є сукупність бісектрис першого і другого коорди­натних кутів.

3. Графіком функції

що задана різними аналітичними виразами на різних частинах області зміни х, є сукупність параболи і прямої. Стрілка на графіку означає, що точка М (2, 2) не належить прямій.

4. Функція

(читається «сигнум ікс») визначена на всій числовій осі і набуває трьох значень:

— 1; 0; 1; Х = (—; + ), Y= {—1, 0, 1).

5. Функція у = визначена при х0 і набуває двох значень:

-1; 1; Х = (-; 0) U(0; +); Y = {—1, 1).

Зауважимо, що в прямокутній системі координат Оху функцію задає лише така крива 1₂ , яку кожна пряма, що проходить через точку хXпаралельно осі Оу, перетинає лише в одній точ­ці. Область визначення цієї функції — відрізок [а; b], який є проек­цією кривої на вісь Ох. Щоб знайти значення функції у₀ = f(х₀ ), що відповідає значенню аргументу х₀ , потрібно через точку х₀ [а; b] провести перпендикуляр до осі Ох. Довжина цього перпендикуля­ра від осі Ох до точки М₀ (х₀ ; у₀ ) перетину з кривою, взята з належ­ним знаком, і є значенням функції в точці х₀ , тобто у₀ = f(х₀ ). Кри­ва 1₁ не задає функцію.

Табличний спосіб задання функції у = f(x) полягає в тому, що відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.

Табличний спосіб досить часто використовується при проведенні експериментів, коли задають певну сукупність х₁ , х₂ , ...,х_n значень аргументу і дослідним шляхом знаходять відповідні значення функції: y₁ ,у₂ , ..., у_п .

Якщо функція задана аналітичне, то для неї можна побудувати таблицю, тобто табулювати функцію. Табулюються, як правило, функ­ції, які виражаються складною формулою, але часто зустрічаються в практиці. Такими є, наприклад, таблиці логарифмів, тригонометричні

таблиці тощо. І тут, як і при графічному заданні функції, виникає обернене запитання: чи завжди можна від табличного задання функ­ції перейти до аналітичного, тобто чи можна функцію, задану таб­лицею, задати формулою? Щоб відповісти на нього, зауважимо, що таблиця дає не всі значення функції. Проміжні її значення, які не вхо­дять у задану таблицю, можна знайти наближено за допомогою так званої операції інтерполювання функції. Тому в загальному випад­ку знайти точний аналітичний вираз функції за її таблицею неможли­во. Проте можна побудувати формулу, причому не одну, яка для зна­чень x_і ,що є в таблиці, буде давати відповідні значення у_і , функції. Такі формули називаються інтерполяційними.

Останнім часом табличний спосіб широко застосовується у зв'язку з використанням електронно-обчислювальних машин (ЕОМ), тому що вихідну інформацію ЕОМ видає у вигляді числових масивів (таб­лиць). У зв'язну з цим все більше поширюється і стає одним з основних четвертий спосіб задання функції — за допомогою комп'ютерних програм. Як правило, цим способом задаються такі функції, які є розв'язками складних математичних задач. Жодним з поперед­ніх способів подібні функції задати не можна.

Крім розглянутих існують й інші способи задання функції. Так, функцію можна задати словесним описом залежності між змінними.

Приклади