Реферат: Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Сам способ формирования уравнений или формул для вычисления элементов треугольных матриц в различных методах практически одинаков: это метод неопределенных коэффициентов .

Различия возникают на стадии выбора условий разрешения полученных уравнений. Пусть

,

где –

нижняя треугольная матрица,

–

верхняя треугольная матрица.

Выполняя перемножения треугольных матриц и приравнивая получающиеся элементы соответствующим элементам исходной матрицы несложно для k- той строки и m- того столбца записать

.

Полученная система состоит из уравнений и содержит неизвестных коэффициентов. За счет лишних n неизвестных существует свобода выбора, благодаря которой и имеется разнообразие методов разложения.

5. Метод Халецкого

Если положить , то разложение и последующее решение системы из двух векторно-матричных уравнений с треугольными матрицами называется методом Халецкого .

Элементы треугольных матриц L и U последовательно будут вычисляться по следующим формулам:

Если исходная матрица симметричная, то от треугольных матриц можно потребовать, чтобы они были друг к другу транспонированными, т.е., например, и так, что. В этом случае элементы треугольных матриц находятся в соотношении и, следовательно, число неизвестных уменьшается вдвое. В результате элементы треугольной матрицы могут вычисляться по следующим формулам:

6. Метод квадратного корня

Использование разложения на взаимно транспонированные треугольные матрицы при решении систем алгебраических уравнений называется метод квадратного корня .

Метод разложения на транспонированные треугольные матрицы имеет модификацию, заключающуюся в выделении в произведении диагональной матрицы D с элементами на диагонали . Таким образом, для исходной матрицы, которая может быть и эрмитовой (симметричной и комплексно сопряженной), разыскивается произведение трех матриц: .

Каждое km -тое уравнение, определяется произведением k- того вектора-строки левой треугольной матрицы на диагональную матрицу, умноженную на m -тый столбец правой треугольной матрицы, и имеет вид:

.

Для однозначного разложения, учитывая комплексную сопряженность симметричных элементов треугольных матриц, в первом уравнении (i= 1), имеющем вид , полагают . В этом случае

.

Аналогично, отделяя знак диагонального элемента диагональной матрицы от его модуля, можно получить формулы для вычисления :

Литература

1. Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. Изд-во: "Академия/Academia", 2004. – 384c.

2. Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

3. Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 400c.